专题02 方程（组）与不等式（组）（14题型）（广西专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 一元一次方程的实际应用 题型02 不等式（组）解集的数轴表示 题型03 解不等式（组） 题型04 二元一次方程（组）的解 题型05 二元一次方程（组）的实际应用 题型06 解一元二次方程 题型07 一元二次方程根的个数问题 题型08 一元二次方程根与系数的关系 题型09 一元二次方程的实际应用 题型10 分式方程计算过程的改错问题 题型11 分式方程的实际应用 题型12 一元一次方程与二元一次方程组的综合 题型13 二元一次方程与不等式（组）的综合 题型14 分式方程与不等式（组）的综合 01一元一次方程的实际应用 1．（2025·广西·二模）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·二模）数学活动：用一根质地均匀长为的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：    （1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡； （3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边 挂重物处的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端 挂重物处的距离 2 1 3 1 4 1 … … 1 n 1 任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______； 任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把n，l作为已知数，求x的值．    02 不等式（组）解集的数轴表示 3．（2025·广西柳州·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·二模）一款西服上标有下列信息： 洗涤说明 以下网袋机洗，不可漂白，低温熨烫，不可干洗，不可曝晒，请勿浸泡 根据信息，关于这款西服的洗涤温度范围，在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   5．（2025·广西·二模）一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 03 解不等式（组） 6．（2025·广西·二模）不等式组的整数解为 ． 7．（2025·广西南宁·二模） 解不等式组： 8．（2025·广西桂林·二模）解不等式组： 04解二元一次方程组 9．（2025·广西梧州·二模） 解方程组：． 10．（2025·广西·二模） 解方程组：． 05 二元一次方程（组）的实际应用 11．（2025·广西·二模）中国是茶的故乡，茶文化是中国制茶和饮茶的文化．某制茶厂购进580克胎菊和1180克枸杞用于制作甲，乙两种袋装茶，其中甲种茶一袋需添加胎菊3克，枸杞5克，乙种茶一袋需添加胎菊2克，枸杞6克．求制茶厂可制作的甲，乙两种茶的袋数．设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广西·二模）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(　　　) A． B． C． D． 13．（2025·广西·二模）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广西钦州·二模）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·广西·二模）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） 3 1 105 1 2 110 (1)求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ (2)若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 06 解一元二次方程 16．（2025·广西南宁·二模）解方程： 17．（2025·广西玉林·二模）解一元二次方程：． 07 一元二次方程根的个数问题 18．（2025·广西·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 19．（2025·广西钦州·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·广西·二模）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8 一元二次方程根与系数的关系 21．（2025·广西·二模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 22．（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 9 一元二次方程的实际应用 23．（2025·广西·二模）涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·广西·二模）广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·广西·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 26．（2025·广西·二模）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 27．（2025·广西·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·广西·二模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 10 分式方程计算过程的改错问题 29．（2025·广西·二模）小明同学解方程的过程中，说法正确的是（    ） 解：方程两边同时乘，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得即…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化为1，得…第五步 A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 30．（2025·广西·二模）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 11 分式方程的实际应用 31．（2025·广西·二模）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 32．（2025·广西梧州·二模）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（   ） A． B． C． D． 12 一元一次方程与二元一次方程组的综合 33．（2025·广西·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________； ②若不计热损失，请求此时的值； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？ 34．（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 13 二元一次方程与不等式（组）的综合 35．（2025·广西·二模）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过吨的禁止通行，现有一辆自重吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输，已知个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等． (1)求个部件和个部件的质量各为多少吨？ (2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 14 分式方程与不等式（组）的综合 36．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 37．（2025·广西·二模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 1．（2025·广西钦州·二模）若是关于x的方程的解，则a的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 2．（2025·广西·二模）已知x、y满足方程组，则x+y的值为 ． 3．（2025·广西·二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，解得x，y的值分别是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西来宾·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设门宽为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广西钦州·二模） 解不等式组： 7．（2025·广西南宁·二模） 解方程组：． 8．（2025·广西·二模）为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半． (1)求甲、乙两种垃圾桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 一元一次方程的实际应用 题型02 不等式（组）解集的数轴表示 题型03 解不等式（组） 题型04 二元一次方程（组）的解 题型05 二元一次方程（组）的实际应用 题型06 解一元二次方程 题型07 一元二次方程根的个数问题 题型08 一元二次方程根与系数的关系 题型09 一元二次方程的实际应用 题型10 分式方程计算过程的改错问题 题型11 分式方程的实际应用 题型12 一元一次方程与二元一次方程组的综合 题型13 二元一次方程与不等式（组）的综合 题型14 分式方程与不等式（组）的综合 01一元一次方程的实际应用 1．（2025·广西·二模）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．借问贤能如何算，多少儿童多少杏？问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童？设有x个牧童，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该问题中的牧童有x个，根据“若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏”，结合这堆杏的个数不变，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设该问题中的牧童有x个， 根据题意得：． 故选：D． 2．（2025·广西·二模）数学活动：用一根质地均匀长为的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：    （1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡； （3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离； （4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边 挂重物处的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端 挂重物处的距离 2 1 3 1 4 1 … … 1 n 1 任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______； 任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把n，l作为已知数，求x的值．    【答案】任务1：；任务2： 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、数字类规律探索 【分析】任务1：观察表中数据，即可得出规律，即可求解； 任务2：根据得出的规律列方程求解即可． 【详解】解：任务1：由表格可得，左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，均为45，是木杆总长度的一半， ∴当木杆左边挂5个重物时，支点到木杆左边挂重物处的距离为， 故答案为：； 任务2：∵左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，是木杆总长度的一半， ∴， ∴． 02 不等式（组）解集的数轴表示 3．（2025·广西柳州·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： ， 故选：B． 4．（2025·广西·二模）一款西服上标有下列信息： 洗涤说明 以下网袋机洗，不可漂白，低温熨烫，不可干洗，不可曝晒，请勿浸泡 根据信息，关于这款西服的洗涤温度范围，在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据题意可得这款西服的洗涤温度范围为小于，由此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 这款西服的洗涤温度范围为：小于， 在数轴上表示如图所示：   ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出这款西服的洗涤温度范围为小于是解题的关键． 5．（2025·广西·二模）一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 03 解不等式（组） 6．（2025·广西·二模）不等式组的整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是， 故答案为：． 7．（2025·广西南宁·二模） 解不等式组： 【答案】（2） 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴这个不等式组的解集是． 8．（2025·广西桂林·二模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：； 04解二元一次方程组 9．（2025·广西梧州·二模） 解方程组：． 【答案】 【详解】解： 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：． 10．（2025·广西·二模） 解方程组：． 【答案】 ． 【详解】 解：， 得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， 方程组的解是． 05 二元一次方程（组）的实际应用 11．（2025·广西·二模）中国是茶的故乡，茶文化是中国制茶和饮茶的文化．某制茶厂购进580克胎菊和1180克枸杞用于制作甲，乙两种袋装茶，其中甲种茶一袋需添加胎菊3克，枸杞5克，乙种茶一袋需添加胎菊2克，枸杞6克．求制茶厂可制作的甲，乙两种茶的袋数．设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意，找到等量关系：甲乙两种茶胎菊的和为580，甲乙两种茶枸杞的和为1180，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得方程组； 故选：C． 12．（2025·广西·二模）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．现在的传本共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提供了答案，而且还给出了解法．其中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为(　　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；绳长=木长-1，据此可列方程组求解． 【详解】根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 13．（2025·广西·二模）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 14．（2025·广西钦州·二模）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进套，第二次购进套，根据题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键．该书店第一次购进x套，则第二次购进y套，根据两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，列方程组． 【详解】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元， ∴． 故选：C． 15．（2025·广西·二模）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示： 小客车（辆） 大客车（辆） 合计载客量（人） 3 1 105 1 2 110 (1)求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？ (2)若计划租用小客车辆，大客车辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案： ②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者 (2)①一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；②租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元 【知识点】二元一次方程的解、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者，再由1辆小客车，2辆大客车可坐100人列出方程求解即可； （2）①由题意得，，把n看做已知解方程得到，再由m、n都为正整数进行求解即可；②根据（2）①所求分别求出两种方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐名志愿者， 由题意得，， 解得， ∴， 答：满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴必须要是4的倍数， ∴当时，；当时，； ∴一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆； ②方案一的费用为元， 方案二的费用为元， ∵， ∴租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元． 06 解一元二次方程 16．（2025·广西南宁·二模）解方程： 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， ∴． 17．（2025·广西玉林·二模）解一元二次方程：． 【答案】， 【详解】解 ：， ∴， ∴, ． 07 一元二次方程根的个数问题 18．（2025·广西·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， m的取值范围是且． 故选：D． 19．（2025·广西钦州·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ∴实数的取值范围是． 故选：A． 20．（2025·广西·二模）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当方程有两个不相等的实数根时，”是解题的关键． 8 一元二次方程根与系数的关系 21．（2025·广西·二模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可． 【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1，x2， ∴x1∙x2=-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是． 22．（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，解一元二次方程； （1）利用根与系数的关系可求出的值； （2）根据，代入求值即可； （3）先利用根与系数的关系可求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则， 故答案为：； （2）证明：由题意可得，， ∴； （3）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， 整理得， 解得， ∴． 9 一元二次方程的实际应用 23．（2025·广西·二模）涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x， 根据题意，得， 故选A. 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程． 24．（2025·广西·二模）广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用广西六堡茶2024年的总产量=广西六堡茶2022年的总产量广西六堡茶总产量的年平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 25．（2025·广西·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【点睛】此题考查一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理． 设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竿的长度为x尺，则门高为尺，门宽为尺，门对角线长为x尺． 根据勾股定理得． 故选B． 26．（2025·广西·二模）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 27．（2025·广西·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 28．（2025·广西·二模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)40元 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 10 分式方程计算过程的改错问题 29．（2025·广西·二模）小明同学解方程的过程中，说法正确的是（    ） 解：方程两边同时乘，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得即…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化为1，得…第五步 A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程的解法，掌握先两边同时乘，整理为一元一次方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得 去括号，得 移项，得即 合并同类项，得0 系数化为1，得 故从第二步开始出现错误， 故选B． 30．（2025·广西·二模）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 11 分式方程的实际应用 31．（2025·广西·二模）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时做个盒子，则甲每小时做个盒子， 由题意得：， 故选：C． 32．（2025·广西梧州·二模）根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟进站旅客的人数是人，根据300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人． 根据题意，得， 故选：A． 12 一元一次方程与二元一次方程组的综合 33．（2025·广西·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”． (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________； ②若不计热损失，请求此时的值； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？ 【答案】(1)①400；② (2)嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答． ②根据“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” 列出方程，解方程，即可作答． （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意： ， ∴王老师的水杯容量为． 故答案为： ②接入水杯的温水吸收的热量为： ， 热水放出的热量为：， 由题意： ， 解得：， 答：王老师的水杯容量为，水温约； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得： ，    解得：， ∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为． 34．（2025·广西桂林·二模）根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 13 二元一次方程与不等式（组）的综合 35．（2025·广西·二模）港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过吨的禁止通行，现有一辆自重吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由个部件和个部件组成，这种设备必须成套运输，已知个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等． (1)求个部件和个部件的质量各为多少吨？ (2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 【答案】(1)个部件质量为吨，个部件质量为吨； (2)一次可以运送套这种设备． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及解不等式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设个A部件质量为吨，个部件质量为吨，根据个部件和个部件的总质量为吨，个部件和个部件的质量相等列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据内地货车载重后总质量不超过吨列出不等式，求解不等式即可． 【详解】（1）设个A部件质量为吨，个部件质量为吨 解得 答：个部件质量为吨，个部件质量为吨 （2）设一次可以运送套这种设备， 为整数 答：一次最多可以运送套这种设备 14 分式方程与不等式（组）的综合 36．（2025·广西南宁·二模）综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）500 （2）当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，正确列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元，列方程求解即可； （2）设每年行驶里程为，根据新能源车的年使用费用更少，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 得：， 解得：， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：的值为500． （2）燃油车的每千米行驶费用：（元）， 新能源车的每千米行驶费用：（元）． 设每年行驶里程为，由题意得： ， 解得：， 答：当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 37．（2025·广西·二模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 1．（2025·广西钦州·二模）若是关于x的方程的解，则a的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·广西·二模）已知x、y满足方程组，则x+y的值为 ． 【答案】3 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】由2x+y＝5，x+2y＝4，两式相加化简即可得出． 【详解】解：， 两式相加得：3（x+y）＝9，即x+y＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确分析是解题的关键． 3．（2025·广西·二模）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，解得x，y的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意可得等量关系：①大马数+小马数；②大马拉瓦数+小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得： ； 解得； 故选：D． 4．（2025·广西·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 故选：B． 5．（2025·广西来宾·二模）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈尺，1尺寸），设门宽为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意明确线段长度是解题的关键．设门宽为尺，则高为尺，对角线长为尺，由勾股定理得，，然后作答即可． 【详解】解：设门宽为尺，则高为尺， 由题意知，对角线长为尺， 由勾股定理得，， 故选：B． 6．（2025·广西钦州·二模） 解不等式组： 【答案】 【详解】解： ， 由①得，， 由②得，， 这个不等式组的解集是． 7．（2025·广西南宁·二模） 解方程组：． 【答案】 【详解】解 得，解得：． 把代入①得，，解得：． 所以二元一次方程组的解为． 8．（2025·广西·二模）为创建文明社区，营造干净整洁的街道社区环境，某社区准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，已知购买甲种垃圾桶的单价比购买乙种少50元，用2500元购进乙种垃圾桶的数量是用4000元购进甲种垃圾桶的数量的一半． (1)求甲、乙两种垃圾桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种垃圾桶共30个，且总费用不超过7000元，则社区最多可以购买多少个乙种垃圾桶？ 【答案】(1)甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元 (2)社区最多可以购买20个乙种垃圾桶 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答； （2）设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶，根据题意列出不等式，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设甲种垃圾桶的单价为元，则乙种垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种垃圾桶的单价为200元，则乙种垃圾桶的单价为250元． （2）解：设购买个乙种垃圾桶，则购买个甲种垃圾桶， 由题意得，， 解得：， 所以的最大值为20， 答：社区最多可以购买20个乙种垃圾桶． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$