专题2.2 分式的加法和减法（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题2.2 分式的加法和减法 教学目标 1.  知识技能：理解并掌握分式加法与减法的运算法则，明晰同分母和异分母分式运算的区别。 2. 过程方法：通过类比分数运算学习分式运算，提升类比推理和运算能力，学会准确通分、约分。 3. 问题解决：能够运用分式加减法解决实际问题，如工程、行程问题中的数量关系求解。 教学重难点 1.重点 （1）法则掌握：牢记分式加减法的运算法则，包括同分母分式分母不变、分子相加减；异分母分式先通分再运算； （2）运算应用：熟练运用法则进行分式的加法、减法及混合运算，准确计算得出结果。 2.难点 （1）符号处理：在同分母分式加减法中，正确处理分子相加减时的符号变化，避免出错。 （2）通分技巧：异分母分式通分时，精准确定最简公分母，掌握多项式分母因式分解及通分方法 。 知识点01 同分母分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． 【即学即练1】 1．计算： ． 【答案】/0.5 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查同分母分式相加减，根据同分母分式相减，分母不变，分子相加可直接得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 1 2 2 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式加减运算， （1）由同分母分式加减法则进行运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解； （2）由同分母分式加减法则进行运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解； （3）由同分母分式加减法则进行运算，将结果化为最简分式或整式，即可求解； 掌握同分母分式加减运算法则：“分母不变，分子相加减．” 是解题的关键． 【详解】解：（1）原式， 故答案为：； （2）原式， 故答案为：； （3）原式， 故答案为：． 知识点02 最简公分母 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【即学即练2】 1．分式与的最简公分母是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：． 2．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 知识点03 分式的通分 分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 【即学即练3】 1．通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】最简公分母、通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 2．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【知识点】最简公分母、通分 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 知识点04 异分母分式的加减 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似. 【即学即练4】 1．计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则. 本题利用异分母的分式加减法则计算即可 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了异分母减法，掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再约分即可． 【详解】解： ． 题型01 同分母分式加减法 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法法则计算即可． （1）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可； （2）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式加减运算法则计算即可； （2）根据同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，即可作答． （2）先整理原式，再根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，得，再化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的加减运算，分式加减法分为同分母分式加减和异分母分式加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后按照同分母分式的加减法则进行计算；解题的关键是熟练掌握分式运算法则．（1）（2）（3）分母相同，按照同分母分式加减法则进行计算即可；（4）分母互为相反数，提取负号，变为相同的分母，然后按照同分母分式加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 题型02 最简公分母 【典例1】分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可得解． 【详解】解：与的最简公分母是， 故答案为：． 【变式1】分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母系数等于各分母系数的最小公倍数，字母指数的最高次幂乘积即为最简公分母． 本题考查了最简公分母计算，熟练掌握最简公分母的构成是解题的关键． 【详解】解：和的最简公分母是， 故答案为：． 【变式2】分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 【变式3】下列三个分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，，最简公分母为． 故答案为：． 题型03 通分 【典例1】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可． （2）根据通分的定义把分式变形即可． （3）根据通分的定义把分式变形即可． （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可； （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，． 【变式2】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，， 【分析】本题考查分式的基本性质-通分，准确求得最简公分母是解答的关键． （1）根据最简公分母是进行通分即可； （2）根据最简公分母是进行通分即可； （3）根据最简公分母是进行通分即可； （4）根据最简公分母是进行通分即可； 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，，． 【变式3】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 题型04 异分母分式加减法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （ 2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （ 3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，先把三个分式通分，再把分子合并同类项后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （2）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （3）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的加减运算； （1）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （2）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （3）先通分化成同分母分式，再计算加减即可； （4）先通分化成同分母分式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型05 整式与分式相加减 【典例1】计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式1】化简： 【答案】 【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键． 【变式2】化简：． 【答案】． 【详解】． 【变式3】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型06 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例1】若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【知识点】加减消元法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 【变式1】已知，求，，的值． 【答案】，，的值分别为，，． 【知识点】异分母分式加减法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查异分母分式的加减法及解三元一次方程组，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件构造方程组，求解方程组即可． 【详解】解： ， 解得 即，，的值分别为，，． 【变式2】阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型07 分式加减混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法、分式加减混合运算 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （2）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （3）括号内先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （4）括号内先通分，分子分母分解因式，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式加减混合运算 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、综合提公因式和公式法分解因式、分式加减混合运算 【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可； （3）把看成是一项，为，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可； （4）最简公分母为，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 题型08 分式加减混合运算错解复原问题 【典例1】下面是小茜同学化简分式的过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)小茜的解法从第______步开始出现错误． (2)请你写出正确的化简过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用分式的相应的法则对过程进行分析即可； （2）先通分，再进行分式的减法运算即可． 【详解】（1）小茜的解法从第二步开始出现错误，原因是错把分式的化简当成解分式方程，导致分母丢失； 故答案为：二； （2） 【变式1】化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】圆圆的解答不正确，正确解答过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的减法，根据异分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：圆圆的解答不正确，正确解答过程如下： 原式 ． 【变式2】下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号；任务二：． 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 任务一：①根据通分的定义判断即可；②根据去括号法则判断即可； 任务二：根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：一，分式的基本性质； ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号， 故答案为：二，去括号没有变号； 任务二： ． 【变式3】下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：         （第1步）         （第2步）         （第3步）         （第4步）         （第5步）         （第6步） 任务： (1)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______． (2)以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第______步，错误的原因是______，并直接写出正确的结果：_______． (3)除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议． 【答案】(1)3；分式的基本性质 (2)6；去括号时，括号里的第二项没有乘3； (3)分式化简的结果要化成最简分式或整式等 【分析】此题考查的是分式的运算法则，正确的按照化简和运算法则进行运算是解决此题关键． （1）根据分式通分的步骤进行判断即可； （2）根据去括号法则解答，按照分式的化简步骤重新计,即可； （3）分式化简的结果要化成最简分式或整式等． 【详解】（1）解：以上化简过程中，第3步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， 故答案为：3，分式的基本性质； （2）解：以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第6步，错误的原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3， 正确的解答过程如下： ； （3）解：答案不唯一，如：分式化简的结果要化成最简分式或整式等． 题型09 分式加减混合运算中的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的减法，再将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简再求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先通分，再根据分式加减法计算，约分化简后，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为4 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把三个分式通分，再把分子去括号后合并同类项并分解因式，接着把分子与分母约分化简，再求出，并代入化简结果中求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母，确定两个分式的最简公分母，需将各分母分解因式后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式的分母为，分解为和； 分式的分母为，分解为和． 各分母的因式包括、、，次数均为1次． 因此，最简公分母为， 故选：A． 2．计算的结果等于（   ） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．通过通分将两个分式合并，再化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 3．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了异分母分式的减法，关键是通分化为同分母分式的减法，最后约分化简即可；把两个分母通分化为同分母分式，再把分子相减即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 5．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ， ∴的值，以，，，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选：A． 6．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减，分式的约分，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 先通分，再进行同分母的计算，最后约分，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为． 8．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据分式加减运算法则，求出，利用分式相等的条件求出A与B的值即可． 【详解】解： ， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：1． 9．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10．定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则成为解题的关键． （1）直接按照同分母分式加减运算法则求解即可； （2）先通分、然后按照同分母分式加减运算法则计算，最后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （2）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （3）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解； （4）先通分，然后根据分式的加减运算，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 (1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； (2)请重新写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二，二 (2)见解析 【分析】本题主要考查分式的混合运算： （1）认真观察每个同学的做法，找出错误的步骤即可； （2）修改做错误的步骤，再进行解答即可． 【详解】（1）解：经过观察，甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 故答案为：二；二； （2）解： ． 14．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键； （1）根据上述等式，写出第5个等式即可； （2）根据上述等式，可得第个等式：，再证明整式左边等式右边即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）第个等式：， 证明如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立． 故答案为：． 15．已知：，． (1)当时，的值为_____； (2)当时，判断与的大小关系，并说明理由； (3)设，求当x为非负整数时，y的整数值． 【答案】(1) (2)当且时，；当时，； (3)2 【分析】（1）将代入，计算的值即可； （2）先求差，再比较差与0的大小关系； （3）先表示，再求，的整数值，进而可以解决问题． 【详解】（1）当时， ； （2）当时，，理由如下： ， ∵， 或， 当且时，；当时，； （3）∵，， 为非负整数，y为整数 ∴ 解得 ∴当时，， ∴当时，，舍去． 综上所述：y的值为2． 【点睛】本题考查分式运算和比较大小，解不等式组，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 16．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 17．著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3）或或或． 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 18．【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【答案】(1) (2) (3)甲店的平均价格比乙店的平均价格高 【分析】（）根据作差法的比较法则即可求解； （）求出的差，再根据作差法的比较法则即可判断求解； （）根据题意表示出甲店和乙店的平均价格，再利用作差法比较即可判断求解； 本题考查了作差法，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，甲店的平均价格为元/斤， 乙店的平均价格为元/斤， ∴ ， ∵，，且， ∴，， ∴， 即， ∴甲店的平均价格比乙店的平均价格高． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 分式的加法和减法 教学目标 1.  知识技能：理解并掌握分式加法与减法的运算法则，明晰同分母和异分母分式运算的区别。 2. 过程方法：通过类比分数运算学习分式运算，提升类比推理和运算能力，学会准确通分、约分。 3. 问题解决：能够运用分式加减法解决实际问题，如工程、行程问题中的数量关系求解。 教学重难点 1.重点 （1）法则掌握：牢记分式加减法的运算法则，包括同分母分式分母不变、分子相加减；异分母分式先通分再运算； （2）运算应用：熟练运用法则进行分式的加法、减法及混合运算，准确计算得出结果。 2.难点 （1）符号处理：在同分母分式加减法中，正确处理分子相加减时的符号变化，避免出错。 （2）通分技巧：异分母分式通分时，精准确定最简公分母，掌握多项式分母因式分解及通分方法 。 知识点01 同分母分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． 【即学即练1】 1．计算： ． 2．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 知识点02 最简公分母 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【即学即练2】 1．分式与的最简公分母是（  ） A． B． C． D． 2．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 知识点03 分式的通分 分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 【即学即练3】 1．通分： (1)，； (2)，． 2．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 知识点04 异分母分式的加减 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似. 【即学即练4】 1．计算：． 2．计算：． 题型01 同分母分式加减法 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 最简公分母 【典例1】分式与的最简公分母是 ． 【变式1】分式和的最简公分母是 ． 【变式2】分式，，的最简公分母是 ． 【变式3】下列三个分式的最简公分母是 ． 题型03 通分 【典例1】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 异分母分式加减法 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1) (2) (3) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 整式与分式相加减 【典例1】计算：． 【变式1】化简： 【变式2】化简：． 【变式3】化简： (1) (2) 题型06 已知分式恒等式，确定分子或分母 【典例1】若（其中，为常数），则 ， ． 【变式1】已知，求，，的值． 【变式2】阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 题型07 分式加减混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 题型08 分式加减混合运算错解复原问题 【典例1】下面是小茜同学化简分式的过程． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)小茜的解法从第______步开始出现错误． (2)请你写出正确的化简过程． 【变式1】化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【变式2】下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 任务一：填空 ①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 【变式3】下面是小康同学进行分式化简的过程，请你认真阅读并完成相应的任务：         （第1步）         （第2步）         （第3步）         （第4步）         （第5步）         （第6步） 任务： (1)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______． (2)以上化简过程中，有一处出现了错误，这一步是第______步，错误的原因是______，并直接写出正确的结果：_______． (3)除纠正上述错误外，就分式化简的过程还需要注意的一些事项，请给同学们提出一条合理化建议． 题型09 分式加减混合运算中的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（   ） A．3 B．x C． D． 3．计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 4．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 5．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 6．化简： ． 7．计算的结果是 ． 8．已知，则的值为 ． 9．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 10．定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 11．计算： (1) (2) 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 (1)老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； (2)请重新写出此题的正确解答过程． 14．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示），并证明． 15．已知：，． (1)当时，的值为_____； (2)当时，判断与的大小关系，并说明理由； (3)设，求当x为非负整数时，y的整数值． 16．阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 17．著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 18．【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$