专题2.3 分式的乘法和除法（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题2.3 分式的乘法和除法 教学目标 1. 理解并掌握分式的乘法和除法法则，能够准确运用符号语言表述 。 2. 通过类比分数乘除运算，经历推导分式乘除法则的过程，提升类比推理能力 。 3. 能运用分式乘除法法则进行相关运算，解决简单的实际问题，增强应用意识 。 教学重难点 1.重点 （1） 分式乘除法法则的推导，引导学生通过类比分数运算自主探究得出 。 （2）熟练运用分式乘除法法则进行运算，包括分子分母为单项式、多项式的情况 。 2.难点 （1）当分子、分母是多项式时，准确进行因式分解并约分，这需要学生对因式分解知识有扎实掌握 。 （2）理解分式乘除运算中符号的变化规律，尤其是负号在分子、分母不同位置时的处理 。 知识点01 分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． 【即学即练1】 1．计算： 2．化简：． 3．化简：． 知识点02 分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． 【即学即练2】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．先化简，再求值：，其中. 知识点03 分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． 【即学即练3】 1．计算： ． 2．计算：    ． 题型01 分式的乘法运算 【典例1】计算：． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型02 分式的除法运算 【典例1】计算： (1) (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 分式乘除混合运算 【典例1】计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算 (1) (2) 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 分式的乘方运算 【典例1】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【变式训练】 【变式1】计算： （1） ．            （2） ． 【变式2】计算： ． 【变式3】当，时， . 题型05 含乘方的分式乘除混合运算 【典例1】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) 题型06 分式的混合运算 【典例1】． 【变式1】化简：． 【变式2】计算 (1) (2) (3) 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型07 分式的混合运算错解复原问题 【典例1】这是淇淇解答试题的具体过程： 化简： 解： ① ② ③ ④ (1)淇淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是什么？ (2)请你写出正确的解答过程． 【变式1】下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【变式2】数学课上，老师让同学们完成课本121页第3题： 用两种方法计算． 下面是甲、乙两位同学的部分计算过程： 甲同学：原式 乙同学：原式 (1)甲同学计算的依据是________，乙同学计算的依据是________（填序号）； ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)选择其中一种你喜欢的解法，写出完整的计算过程，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【变式3】王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 题型08 分式的混合运算之化简求值 【典例1】先化简：，再从1、2、3三个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【变式1】先化简，再从，0，2中选取一个适当的数作为的值代入求值． 【变式2】先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 【变式3】已知． (1)化简． (2)请从，2，0，3中选取合适的整数代入，求出的值． 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列分式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 6． ． 7．若，则 ． 8．已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 9．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 10．若分式，分式（，为整数且），且分式与分式的和等于，则的值为 ． 11．计算 (1) (2) (3) 12．先化简，再求值：，其中，． 13．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 14．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 15．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 16．学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 ，甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 化简：．                            ………第①步                        ………第②步                        ………第③步                                   ………第④步 乙同学： 化简：．                        ………第①步                            ………第②步                               ………第③步                                           ………第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； (2)该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）；错误的原因是 ； (3)请写出正确的解答过程． 17．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 18．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与：因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式_________（填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． (2)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． (3)若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 分式的乘法和除法 教学目标 1. 理解并掌握分式的乘法和除法法则，能够准确运用符号语言表述 。 2. 通过类比分数乘除运算，经历推导分式乘除法则的过程，提升类比推理能力 。 3. 能运用分式乘除法法则进行相关运算，解决简单的实际问题，增强应用意识 。 教学重难点 1.重点 （1） 分式乘除法法则的推导，引导学生通过类比分数运算自主探究得出 。 （2）熟练运用分式乘除法法则进行运算，包括分子分母为单项式、多项式的情况 。 2.难点 （1）当分子、分母是多项式时，准确进行因式分解并约分，这需要学生对因式分解知识有扎实掌握 。 （2）理解分式乘除运算中符号的变化规律，尤其是负号在分子、分母不同位置时的处理 。 知识点01 分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：． 【即学即练1】 1．计算： 【答案】 【知识点】分式乘方、分式乘法 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解：． 2．化简：． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，正确运用法则是关键．直接根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 3．化简：． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，提公因式法，因式分解，关键是掌握分式的乘法、提公因式法、因式分解的运用．先把分式的分子和分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式． 知识点02 分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 用式子表示为：． 【即学即练2】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式除法、分式乘法 【分析】（1）根据分式的乘法计算即可； （2）根据分式的除法法则计算即可． 本题考查了分式的乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式除法、分式乘法 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． （1）把分子、分母分解因式约分即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算； （3）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 3．先化简，再求值：，其中. 【答案】，-2 【知识点】分式化简求值、分式乘除混合运算 【分析】先根据分式的乘除混合运算法则化简，再代值计算. 【详解】解：原式； 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘除混合运算法则、准确计算是解题关键. 知识点03 分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，． 【即学即练3】 1．计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式：（，为正整数）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 2．计算：    ． 【答案】 【知识点】分式乘方、分式除法 【分析】本题考查分式的除法与乘方，熟练掌握分式的除法与乘方运算法则是解题的关键． （1）先运用分式除法法则将除法转化成乘法，然后约分即可求解； （2）根据分式乘方法则计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；． 题型01 分式的乘法运算 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可； （2）第一个分式的分母 ,然后再约分即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握因式分解方法是解题的关键． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式乘法法则以及因式分解的方法． （1）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，约去分子分母的公因式，从而得到最简结果； （2）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，对于能因式分解的式子先因式分解，再约去分子分母的公因式，从而得到最简结果． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法运算法则约分化简即可得到答案； （2）利用分式的乘除法运算法则和平方差公式即可得到答案 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式• ． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，正确找公因式约分是解题关键． 题型02 分式的除法运算 【典例1】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分式的除法转化成乘法，再利用分式的乘法运算法则即可计算结果； （2）先将分式的除法转化成乘法，再利用分式的乘法运算法则，结合完全平方公式，平方差公式即可计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ＝ ＝﹣1； 【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （）根据分式的除法法则进行计算即可； （）根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）根据分式的除法进行计算即可求解； （3）根据分式的除法进行计算即可求解； （4）根据分式的除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 题型03 分式乘除混合运算 【典例1】计算： (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的除法计算法则求解即可； （2）（3）（4）根据分式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的除法和分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； （）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； 本题考查了分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型04 分式的乘方运算 【典例1】计算： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则． （1）根据分式的乘方法则直接计算即可； （2）根据分式的乘方法则直接计算即可； （3）根据分式的乘方法则直接计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【变式训练】 【变式1】计算： （1） ．            （2） ． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果； （2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 故答案为：；． 【变式2】计算： ． 【答案】 【知识点】分式除法、分式乘方 【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【详解】原式， 故答案为：． 【变式3】当，时， . 【答案】 【知识点】分式乘法、分式除法、分式乘方 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，然后代值计算即得答案. 【详解】解： ； 当，时，原式； 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的乘方和乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题关键. 题型05 含乘方的分式乘除混合运算 【典例1】计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分数乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则． (1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可； (2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案． (3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可． 【详解】（1）解：， （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算； （2）先算乘方，再算分式的乘法即可； （3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 题型06 分式的混合运算 【典例1】． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先将小括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的加法． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先通分，再根据平方差公式计算，最后计算同分母分式减法即可； （3）先将括号里的分式通分，根据平方差公式和完全平方公式化简，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质把整理得，再结合分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 分式的混合运算错解复原问题 【典例1】这是淇淇解答试题的具体过程： 化简： 解： ① ② ③ ④ (1)淇淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是什么？ (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)淇淇的解答过程是从第①步开始出现错误的；错误的原因是运算顺序错了，应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除； (2)见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，分式的约分，利用平方差进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）根据应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除，可判定出第①步开始出现错误，即可解答． （2）先将小括号里的分式通分计算，再计算括号外的乘除，最后约分，即可解得． 【详解】（1）解：淇淇的解答过程是从第①步开始出现错误的；错误的原因是运算顺序错了，应该先计算小括号里的，再计算括号外的乘除； （2） ． 【变式1】下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二、三 (2)； 时，值为7，时，值为6． 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； （2）解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 【变式2】数学课上，老师让同学们完成课本121页第3题： 用两种方法计算． 下面是甲、乙两位同学的部分计算过程： 甲同学：原式 乙同学：原式 (1)甲同学计算的依据是________，乙同学计算的依据是________（填序号）； ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)选择其中一种你喜欢的解法，写出完整的计算过程，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【答案】(1)②，④ (2)见解析，原式；当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，④； （2）解：若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； ∵，，， ∴，，， ∴在中，可取， ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式3】王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 【答案】(1)① (2)否；错用去括号法则 (3)完整正确的解答过程见解析，原式的值为 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误； （2）去括号时，出现错误； （3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，丹丹同学第①步先算的减法， ∴从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，丹丹同学括号里的第二项没有变号，出现错误， ∴从①到②不正确，错用去括号法则； 故答案为：否，错用去括号法则； （3）解：原式 ； ， 原式． 题型08 分式的混合运算之化简求值 【典例1】先化简：，再从1、2、3三个数中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，原式． 【变式1】先化简，再从，0，2中选取一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出符合题意的x的值，最后代入化简后的式子即可求出答案． 【详解】解：原式 ． ，， ，． ． 当时，原式． 【变式2】先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 【答案】； 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵ ∴时，原式 【变式3】已知． (1)化简． (2)请从，2，0，3中选取合适的整数代入，求出的值． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则，进行化简即可； （2）根据分式有意义的条件，选择合适的数，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：当时，没有意义， 所以可以为或0． 当时，原式； 当时，原式． 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算， 先将除法变成乘法，再约分可得答案． 【详解】解：原式． 故选：C． 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 3．下列分式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、，不符合题意，选项错误； B、，不符合题意，选项错误； C、，不符合题意，选项错误； D、，符合题意，选项正确； 故选：D． 4．已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．将分式除法转化为乘法，约分后分析分母是否被完全约去，从而判断结果是否为整式． 【详解】解：原式化简为： 结果为整式时，分母必须能被分子整除， A：，则，为整式，可能； B：，则，为整式，可能； C：，则无法约分，结果非整式，不可能； D：，则，为整式，可能； 综上，“○”表示的式子不可能是C． 故选：C． 5．已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、通过分式计算即可判断A；根据分式有意义的条件可判断B；通过不等式的性质可判断C，通过分式求值可判断D． 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意； 当时，，分式无意义，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 当时，，不是正整数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故， 故答案为：． 8．已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 【答案】7或或3 【分析】本题考查分式的化简，不等式的应用，一元一次方程． 先根据分式的性质化简分式为，然后根据题意得到且为整数，得到关于x的方程，进而求解即可． 【详解】解： ∵x为整数，且分式的值为正整数， ∴且为整数， 即且为整数， ∴或， 解得或或3． 故答案为：7或或3． 9．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 10．若分式，分式（，为整数且），且分式与分式的和等于，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的运算法则，二元一次方程的特殊解法． 先计算分式与分式的和，再根据得到，根据，为整数分情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵分式与分式的和等于， ∴ 整理得 方程两边同时加上49得 ∴， ∵，为整数， ∴，或，或，或， 当，时，， 此时； 当，时，， 此时； 当，时，， 此时； 当，时，， 此时； 故答案为：或． 11．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先通分，再根据平方差公式计算，最后计算同分母分式减法即可； （3）先将括号里的分式通分，根据平方差公式和完全平方公式化简，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查分式化简，解题关键是熟练掌握乘法公式和几种因式分解法，含负号的多项式可以先添加括号再整体处理． 根据混合运算法则，括号中的式子“”需要先通分，后续再合并同类型及因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 13．下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1)二；去括号没有变号 (2)；当时，原式的值为（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的化简求值， （1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可； 解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）解：在第二步出现错误，错误的原因是去括号没有变号， 故答案为：二；去括号没有变号； （2） ， ∵（为整数），且、、， 当时，原式； 当时，原式． 14．（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把除法化为乘法约分化简解答即可； （2）先算小括号的异分母分式加减，再把除法化为乘法，然后分子、分母分解因式约分化简，最后把x的值代入计算即可； 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 15．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】（1），4；（2），当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1） 当时，原式； （2） ，， ∴， 当时，原式； 当时，原式． 16．学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 ，甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 化简：．                            ………第①步                        ………第②步                        ………第③步                                   ………第④步 乙同学： 化简：．                        ………第①步                            ………第②步                               ………第③步                                           ………第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； (2)该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）；错误的原因是 ； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲 (2)①，填括号时，这一项中的1未变号 (3) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：甲或乙； （2）解：选择甲时，①，填括号时，这一项中的1未变号； 选择乙时，②，去括号时，这一项中a没有与1相乘； （3）解：选择甲，          ； 选择乙， 解：          ． 17．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 18．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与：因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式_________（填“是”或“不是”）分式的“可存异分式”． (2)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值． (3)若关于x的分式是关于x的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是； (2)①；②分式A的值是1，3，5； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，分式的混合计算，正确理解题意是解题得关键． （1）分别计算出和的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，则可得到，据此计算求解即可；②根据①所求可得，根据整数使得分式A的值是正整数，可得或，再由分式有意义的条件确定x的值即可得到答案； （3）设关于的分式的“可存异分式”为M，则可求出，可得，整理得：，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ；                     ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴是整数， ∴或， 又∵分式要有意义， ∴且， ∴且， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （3）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ， ∵关于x的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$