精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

汽开三中2024-2025学年度下学期期末考试 高一数学 注意事项： 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试吋间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面，面面的位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，由线面垂直的性质可得，故A正确； 对于B，若，则或相交或异面，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：A. 2. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，结合实部与虚部的概念即可求解. 【详解】由，因为的实部与虚部相等， 所以. 故选：C. 3. 如表是某校120名学生假期阅读时间（单位：小时）的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从，，，四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（　　） 　分组 　频数 　频率 　12 　0.10 　30 　 　 　0.60 　 　0.05 　合计 　120 　1.00 A. 2，5，8，5 B. 2，5，12，1 C. 4，6，8，2 D. 3，6，10，1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出小组的频率的值，由分层抽样抽样比相等，分别由乘以各组的频率即可得各组中依次抽取的人数，进而可得正确选项. 【详解】根据题意，小组的频率为， 则第一小组抽取的人数为， 第二小组抽取的人数为， 第三小组抽取的人数为， 第四小组抽取的人数为． 即4个小组依次抽取的人数是2，5，12，1； 故选：B. 4. 在△ABC中，若满足，则△ABC为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，再由余弦定理求最大角可解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 由余弦定理，， ∴，即△ABC为直角三角形. 故选：B． 5. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（ ） A. B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由古典概型概率计算公式求解即可；对于BD，由互斥、对立的概念判断BD；对于C，由独立事件的定义判断即可. 【详解】样本空间， ，， 对于A，，故A错误； 对于BD，，故BD错误； 对于C，，故C正确. 故选：C. 6. 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（ ） A. B. 150m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意在中可求，在中利用正弦定理求，再在中可直接求MN. 【详解】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，， 故选：B. 7. 如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意求出圆锥母线长、底面圆半径和高以及圆柱的高和圆柱底面的半径，再根据剩余几何体的表面组成结合圆锥、圆柱侧面积公式即可计算求解. 【详解】由题可得圆锥母线长为，底面圆半径，高， 所以圆柱的高，圆柱底面的半径为， 由题意余下几何体的表面等价于由圆锥侧面和底面以及圆柱侧面三部分组成， 所以余下几何体的表面积为. 故选：C 8. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用与共线，与共线，求出点的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、百分位数、极差、标准差逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确； 对于B，这组数据从小到大为6，6，7，8，9，9，9，10， 由知分位数为8，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的平均数是， 方差是， 所以这组数据的标准差是，故D正确. 故选：ACD. 10. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】定义法求向量数量积判断选项A；利用向量数量积求，配方法求最小值判断选项B；由正弦定理解三角形，求有两个解时需要的条件判断选项C；由为锐角三角形求角B的范围，结合正弦定理求的取值范围判断选项D. 【详解】中，内角所对的边分别为， 若，则，A选项错误； 当时， ， 当时等号成立，所以最小值为，B选项正确； 由正弦定理，，当有两个解时， 且，的取值范围是，C选项错误； ，，当为锐角三角形时，， 解得，则，， ，所以的取值范围是，D选项正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 单位向量满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的平方运算即可求数量积. 【详解】由， 故答案为： 13. 如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，且.若该三棱柱的外接球的表面积为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】只需求得底面三角形外接圆的半径，该三棱柱的外接球的半径，再结合勾股定理列方程即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 所以三角形是以为直角的直角三角形， 所以底面三角形外接圆的半径为， 设该三棱柱的外接球的半径为，若该三棱柱的外接球的表面积为， 则，解得， 根据对称性可知，，即，解得. 故答案为：. 14. 如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有，由题可得，然后由列举法可得答案. 【详解】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有.由题有. 由题可得可为 ，共24种情况. 满足的有共6种，则对应概率为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别其中，，且. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 又，， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，，， 所以， 可得， 所以 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 17. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求a的值： （2）估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； （3）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2）平均数78分，中位数80分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出； （2）由频率分布直方图估算平均数、中位数计算得解； （3）由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以； 【小问2详解】 根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分， 因为前三组，，的频率之和为， 所以估计这次知识能力测评的中位数为80分； 【小问3详解】 因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 18. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 （1）求角A； （2）若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出； （2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. 【小问2详解】 ①，. 且，解得，或，. 由于， 所以， ； ②由， 得. 解得， 由于，当且仅当时，取等号， 故,当且仅当时，取等号，即的最大值为. 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2024-2025学年度下学期期末考试 高一数学 注意事项： 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试吋间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 如表是某校120名学生假期阅读时间（单位：小时）的频率分布表，现按比例分层抽样的方法从，，，四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（　　） 　分组 　频数 　频率 　12 　0.10 　30 　 　 　0.60 　 　0.05 　合计 　120 　1.00 A. 2，5，8，5 B. 2，5，12，1 C. 4，6，8，2 D. 3，6，10，1 4. 在△ABC中，若满足，则△ABC为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（ ） A. B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 6. 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（ ） A. B. 150m C. D. 7. 如图，过圆锥的轴的截面是边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是 10. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 11. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当时，最小值为 C. 当有两个解时，的取值范围是 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 单位向量满足，则_______. 13. 如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，且.若该三棱柱的外接球的表面积为，则________. 14. 如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别其中，，且. （1）求的值； （2）求的值； 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 17. 象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： （1）根据直方图，求a的值： （2）估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； （3）决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 18. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 （1）求角A； （2）若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $