专题12 一次函数中规律、最值、平移、旋转与新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题12 一次函数中规律、最值、平移、旋转与新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 类型二、一次函数中求线段和最值问题 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 类型五、一次函数中分段函数探究问题 类型六、一次函数中的新定义型综合问题 压轴专练 类型一、一次函数中的规律探究问题 1.分析前几项，寻找模式：根据题目给出的条件，先求出前几个点的坐标或前几条直线的解析式。 把这些具体的例子列出来，仔细观察它们之间的变化规律。 2.归纳猜想，写出通项：根据发现的模式，猜想出第n项的表达式。 这可能是一个坐标  (n, y) ，也可能是一个函数解析式  y = knx + bn 。 用含n的式子把规律表示出来。 3.验证规律，确保正确：把猜想的通项公式代入到已知的项中进行检验。 如果符合，说明规律很可能是对的。也可以用数学归纳法等方式进行严格证明。 例1．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键． 依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上，轴， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线， ． ， ，即点的横坐标为， 同理可得： 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 偶数下标点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【变式1-1】（2026·新疆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的规律题．由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依次代入即可求解． 【详解】解：在直线， ∴ ， ， 设，，，，， 则有， ， ， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形， ， ， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到：，故， 同理可得： ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数字规律探寻，解决本题的关键是根据规律得到与． 根据，，可得，再根据点在直线上，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴，即点， ∵过点作轴的垂线分别与直线交于点， ∴点，，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 类型二、一次函数中求线段和最值问题 1.寻找对称点：这是最关键的一步。找到其中一个定点关于已知直线的对称点。 这样做的目的是把要求的"折线"转化为"直线"。 2.计算最短距离：连接另一个定点和刚才找到的对称点。 这条线段与已知直线的交点就是使得线段和最小的点。 两点间的距离就是我们要求的最小值。 3.代数化求解：如果需要求出具体的坐标或数值，可以通过计算对称点坐标。 然后求出连线的函数解析式。最后计算与已知直线的交点，完成解答。 例2．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标为，，点在轴上，当取最小值时，点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键在于熟练掌握将军饮马模型． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，由对称的性质，以及两点之间线段最短，可知当与重合时，取最小值，且最小值为的长，根据对称得到坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的横坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由对称的性质可知，， ， 结合两点之间线段最短，可知当与重合时，取最小值，且最小值为的长， ，两点的坐标为，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 点的横坐标为 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先求出两点坐标，进而求出，得到，勾股定理求出的长，证明为等腰直角三角形，得到，进而得到的周长，得到当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，结合等积法求出的长即可． 【详解】解：在函数中，当时，，当时，， ，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴， ∴的周长最小为； 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知正比例函数的图象与x轴相交所成的锐角为，定点A的坐标为，P为y轴上的一个动点，M、N为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】解：如图，直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点，作， ∴，， ， 此时最小， 在中， ，，， ∴， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图 1 ，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，且a，b满足，以为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并 求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q ，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的最小值为5，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性可求得，，得，的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 即，，则，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，，解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 1. 掌握平移规律：直线平移时，斜率k保持不变。 - 向上平移m个单位，解析式变为  y = kx + b + m  - 向下平移m个单位，解析式变为  y = kx + b - m  - 向左平移m个单位，解析式变为  y = k(x + m) + b  - 向右平移m个单位，解析式变为  y = k(x - m) + b  2. 结合几何条件：题目通常会给出平移后的直线经过某点，或与坐标轴围成特定面积。 利用这些条件，将已知点坐标代入平移后的解析式，或结合面积公式列出方程。 3. 求解未知参数：通过解方程求出平移后的截距b'，从而确定平移后直线的完整解析式。 例3．在平面直角坐标中，直线分别与x轴、y轴交于点A与点B，过点B作交x轴于点C．过点C作y轴的平行线交于点D． (1)求线段与的长度； (2)现将线沿A至C向右平移2个单位长度得线段（如图），求线段在整个平移过程中扫过图形的面积； (3)试探索在平移过程中，在直线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有符合要求的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在，或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、平移性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线求解是解答的关键． （1）求得点A、B坐标即可求解； （2）根据平移性质得到线段在整个平移过程中扫过图形是平行四边形，且，利用平行四边形的面积公式求解即可； （3）设平移距离为b，则，，设，利用勾股定理求得，则设，分当M在下方时和当M在上方时两种情况，利用全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形列方程求的b值即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，则， ∴； 当时，由得， 则， ∴； （2）解：连接， 根据平移性质，线段在整个平移过程中扫过的图形是平行四边形，且， ∴线段在整个平移过程中扫过图形的面积为； （3）解：存在．理由如下， 设平移距离为b，则，， 设，由题意，，， ∴， 解得， ∴设， 当M在下方时，如图，过M作轴，过E作轴交于P，过F作轴交于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，则； 当M在上方时，如图， 同理可证，， ∴，， 解得，则， 综上，满足条件的点E的坐标为或． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点A，B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标； (3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【知识点】坐标与图形、一次函数图象平移问题、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可； （3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴轴， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 将代入得，，整理得，． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A ，交轴于点B，过点B的直线交轴正半轴于点C．    初步探究： (1)当时，求直线的函数解析式； 深入探究： (2)在（1）的基础上，将沿着 方向平移到如图2的位置，得到，线段与交于点G，若G恰好是的中点，求平移的距离； 拓展延伸： (3)如图3，将沿着 翻折，得到四边形为菱形，继续沿着方向平移，得到，连，．试探究：在平移的过程中，四边形是否能成为矩形，若能求出平移的距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)平移的距离为 (3)能，平移的距离为6 【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，设，在中，利用勾股定理列方程求出x，然后用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）取的中点H，连接，利用三角形的中位线求出的长即可求解； （3）连接，设平移的距离为，则，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，由得 ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，分别代入中 ∴ ∴直线的解析式为 （2）解：取的中点H，连接 ∵G是的中点    ∴， ∵ ∴ ∴GH= 由平移可得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴平移的距离为 （3）解：能．连接，    设平移的距离为 则 ∵四边形为菱形 ∴，，， ∴ ∴ 由平移性质得， ∴， ∴四边形为平行四边形 ∴当时，四边形为矩形 在中 ∴ ∴ ∴平移的距离为6 【变式3-3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 【答案】（1）①见解析；②4；③左，4；④见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①求出直线与坐标轴的交点即可作图；②由点向上平移4个单位与直线上的重合，即可确定平移距离；③同理可求直线与轴交点为，而，则向左平移4个单位与点重合，继而直线向左平移4个单位得到直线；④根据垂线段最短即可确定平移方式； （2）同上可求，，则，，为等腰直角三角形，则，设，则由勾股定理得：，即可求解； （3）同上可得，延长交于点，可得，则由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得，可求，，由得，则， 那么． 【详解】解：（1）①当， 当，则， ∴， 则作图如图： ②对于直线，当， ∴点向上平移4个单位与重合，向上平移4个单位与重合， 故答案为：4； ③同理可求直线与轴交点为，而， ∴向左平移4个单位与点重合， ∴直线向左平移4个单位得到直线， 故答案为：左，4； ④点即为所求 过点分别作直线的垂线，垂足为，由垂线段最短得到直线沿射线方向平移，平移距离为； （2）记直线与与轴分别交于点，如图 同上可求， ∴， ∴， 同理， 由题意得， 则为等腰直角三角形， ∴， 设， 则由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即平移距离为 故答案为：； （3）同上可得，延长交于点， 由得， ∴， 同上可得， ∴， ∴ ∴由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得， 由平移得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理为等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴平移得最小值为， 故答案为：． 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 方法总结 1. 抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。 2. 斜率关系：旋转90°时，新k与原k互为负倒数(k ≠ 0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。 解题技巧 1. 先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。 2. 点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。 例4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）【模型建立】 （1）如图①，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． 【模型应用】 （2）如图②，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转至直线的位置，求直线的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）先证明，进而用即可证明； （2）作交直线于点，作轴于点，由旋转得，则，由（1）可得，求解两点坐标，得到长度，确定坐标，设直线的函数表达式，把代入，求解即可． 【详解】（1）证明： 于点 于点， ，， ， 又， ； （2）解： 如图，作交直线于点，作轴于点， 由旋转得：， ， ， ∴由（1）同理可得， ， 直线，当时， 则， 解得； 当时，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 把代入， 得 ， 解得 ， 直线的函数表达式为． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现： 证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏南京·月考）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． 求证：≌； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______； 将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______． 【综合运用】 （4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4） 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，旋转的性质，借助（1）的结论是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）利用（1）的结论判断出，，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）先求出点，的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可得出结论； （4）先求出平移后的直线的解析式，再借助（2）的方法得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ，， 同（1）的方法知，， ，， ， 同求点的方法得，， 故答案为，； （3）解：如图， 令，则， ， ，令，则， ， ， ， 将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于， 同（2）的方法得，， ，， ， 点绕点逆时针旋转的对应点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：； （4）解：如图， 直线先向上平移个单位的解析式为，再向左平移个单位的解析式为，得到直线的解析式为， 取直线的一点， 绕着坐标原点逆时针旋转， 同的方法得，直线上的点绕原点逆时针旋转的对应点， 设旋转后的直线的解析式为， ， ， 旋转后的直线的解析式为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 类型五、一次函数中分段函数探究问题 1.理解分段的意义：首先要弄清楚为什么要分段。 - 通常是因为在不同的自变量范围内，变量之间的变化规律不同 - 例如：出租车计价、水电费收取等问题 - 不同区间对应不同的收费标准 2.求出各段解析式：在每个自变量的子区间内，把它当作普通一次函数问题来解。 - 利用待定系数法求出该区间对应的函数解析式 - 注意明确写出每段函数的自变量取值范围 3.综合应用解决问题：根据题目要求，判断需要用到哪一段或几段函数。 - 将数值代入对应的解析式进行计算 - 确保计算时使用的是自变量所在区间的那一段表达式 例5．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量的取值范围是___________． (2)下表是与的几组对应值：                0 1 2 3 1 3 写出表中的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，若，则_________(填“>”，“=”或“<”)； ②当时，若对于的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，则的取值范围是_________． 【答案】(1)全体实数 (2)0 (3)见详解 (4)①<；②且 【知识点】求自变量的值或函数值、判断一次函数的图象、求自变量的取值范围、用描点法画函数图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）由图表可知可以是任意实数； （2）把代入即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：函数中自变量可以是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）当时，， ∴． （3）函数图象如图所示； （4）观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②当时，若对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是且． 故答案为：①；②且． 【变式5-1】探究函数的图象与性质． 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数，下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 4 3 2 1 a … 表格中a的值为________； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为________； ②写出该函数的一条性质________． 【答案】(1)0 (2)见解析； (3)①4；②函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上的点的坐标特点，利用数形结合思想． （1）代入x的值即可求出a即可得出答案； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象可知最大值；②根据图象得出函数性质即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 故答案为：0； （2）解：描点，画出函数图象如图所示： ； （3）解：根据函数图象可知： ①函数最大值为4； 故答案为：4； ②由图象可知该函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）； 故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）． 【变式5-2】某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： x … 0 1 2 3 … y … b 1 0 1 2 … 其中，______； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） 【知识点】用描点法画函数图象、判断一次函数的增减性、求一次函数自变量或函数值 【分析】 本题考查的知识点是一次函数图像及一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像及一次函数的性质． （1）把代入函数解析式，求出y的值即可； （2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可； （3）根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，． ∴， 故答案为：2． （2）描点、连线，画出函数图象，如图所示． （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． 类型六、一次函数中的新定义型综合问题 1.仔细阅读，理解定义：这是最重要的一步。 - 题目会给出一个全新的概念或运算规则 - 比如"伴随函数"、"等距点"等 - 逐字逐句分析定义，直到完全理解它的数学含义 2.转化定义，建立联系：把新定义翻译成我们熟悉的数学语言。 - 将文字描述转化为坐标、解析式或几何图形 - 建立新定义与一次函数知识的桥梁 - 如"两点关于直线对称"可转化为中点在直线上，且连线与直线垂直 3.运用知识，求解问题：利用转化后的数学模型和已知条件。 - 通过列方程、计算等方式解决问题 - 得出答案后，再用新定义检验一遍，确保符合题意 例6．（24-25八年级上·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线中a和b的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，新定义． （1）根据“k倍伴随线”的定义即可得出答案； （2）先求出直线的“2倍伴随线”函数的表达式为，再将点代入之中即可求出m的值． 【详解】（1）解：根据“k倍伴随线”的定义得：的“3倍伴随线”的函数表达式为：； （2）解：∵直线的“2倍伴随线”函数的表达式为：， 又∵点在直线的“2倍伴随线”上， ∴点在直线上， ∴， 解得：． 【变式6-1】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：若点的坐标为，则称点为点的“倍点”． (1)①若点的坐标为，点为点的“倍点”，则点的坐标为 ； ②当是直线与轴的交点时，点的“倍点”的坐标为 ． (2)已知点，，若对于直线上任意一点，在直线上都有点，使得点为点的“倍点”，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、一次函数的性质、“倍点”的定义，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）①依据题意，由点的坐标为，点为点的“倍点”，据此解答即可；依据题意，由当是直线与轴的交点时，则，进而可得点的“倍点”的坐标为，据此解答即可； （2）先运用待定系数法求得的解析式为，又为直线上任意点，则可设，结合为点的“倍点”可得，把点代入可得出，化简为，进而完成解答． 【详解】（1）解：①点的坐标为，点为点的“倍点”， ，即． 故答案为：． ②∵当是直线与轴的交点时， ． 点的“倍点”的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线为， 又，， ． ，． 直线为． 又为直线上任意点， 设， 又为点的“倍点”， 又在直线上， ， ． ． 的任意性， ． ． 【变式6-2】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如，求一次函数图象的“亮点”时，解方程组，得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)求一次函数图象的“亮点”； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求、的值； (3)若一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，且一次函数的图象上没有“亮点”，点在轴上，，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数与正比例函数的交点问题，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义，联立方程组，求解即可； （2）根据题意把代入，解得，得到一次函数，“亮点”为，再把代入，求出即可； （3）先求出一次函数解析式，得到点坐标，再求得，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意联立得： ， 解得：， ∴一次函数图像的“亮点”是； （2）解：∵一次函数图象的“亮点”为， ∴把代入，得：， 解得：， ∴一次函数，“亮点”为， 把代入，得：， 解得：； （3）解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴与平行， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设点， ∴ ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式6-3】（24-25八年级下·福建莆田·期末）定义：一次函数是一次函数的“倍函数”，已知直线的解析式为，直线是直线的“倍函数”． (1)请直接写出的解析式； (2)如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴交于点． ①直线上有一点且在第一象限，若直线，直线与轴无法围成三角形，，求点的坐标； ②若点是轴上一个动点，当时，求直线的解析式 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义可得函数表达式； （2）①根据直线，直线与轴无法围成三角形，得，即，证明四边形为平行四边形，得，，确定，得，求出，，再根据在第一象限，可得结论； ②分两种情况：点在轴负半轴上；点在轴的正半轴上，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是直线的“倍函数”， ∴的解析式为； （2）① ∵直线，直线与轴无法围成三角形，直线上有一点且在第一象限， ∴，即，如图， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵直线与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，得：；当时，得：， ∴，， 又∵在第一象限， ∴； ②若点在轴负半轴上， ∵，，，，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 过点作交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∵， ∴， 在和中，， ∴ ， ∴，， 又∵点在第三象限， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∴； 若点在轴的正半轴上，设为点，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的函数解析式为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在等腰直角三角形中，点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，当直线经过点时，的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数图象的平移、求一次函数的解析式，由等腰直角三角形的性质并结合图形可得，由一次函数图象的平移法则可得直线的解析式为，再将代入直线的解析式，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，点， ∴结合图象可得， ∵将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）新定义题  规定：是一次函数（，为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标特征，先根据“特征数”确定一次函数表达式，利用正比例函数定义求出的值，再计算点的坐标然后即可得出所在象限. 【详解】解：根据题意可得为正比例函数； 解得 可化为，它在第一象限， 故选：A. 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理．如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴周长的最小值是， 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律．本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 【详解】解：由直线可知， 当时，则， ∴， ∵平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，且， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得出轴， 得出 把代入 得出 ∴， 则， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 同理得，，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， ∴则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为 故选：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解． 【详解】解：， ， 设平移距离为， 平移后点的坐标为，点的坐标为， 又点在直线上， ． ∴， ， 线段的长为， 故答案为：． 6．（2025·湖北恩施·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．分别过点、、作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【详解】解：如图，分别过点、、作x轴的垂线，垂足分别为点C、D、E， ∵，且为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入，得：， 解得：， ∴，， 同理求得 ，， ∴， ， ， …… ∴， 因此． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，    ∵点关于轴的对称点， ∴，， ∵A点关于直线的对称点，， ∴，， ∴， 此时，值最小，最小值， ∵，， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·周测）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．若y关于x的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，则 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法．利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：设直线图象上“5阶和点”为， 则， ∵直线经过一、二、三象限， 当在第一象限，则， 解得， ∴“5阶和点”为， 代入得， 解得， 当在第二象限，则， 方程无解， 在第三象限，则， 解得， ∴“5阶和点”为， 代入得， 解得， 故答案为：6或． 三、解答题 9．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·云南西双版纳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 11．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 12．（24-25八年级下·海南·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，________； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________； 当时，随的增大而________； 当时，随的增大而________； (4)进一步探究，不等式的解集是________． 【答案】(1)3 (2)见详解 (3)，减小，增大 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围； 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：3； （2）解：先描点，再画出该函数图象的另一部分，下图为所求： （3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； （4）解：依题意， 则或， 解得或， 故答案为：或． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线与两坐标轴分别相交于点，点是线段上任意一点（两点除外），过分别作于点于点． (1)当点在上运动时，则四边形的周长________． (2)当四边形为正方形时，将正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，在平移过程中，当平移距离为多少时，正方形的面积被直线分成两个部分？ 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）当四边形为为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离． 【详解】（1）解：设，设，则． ∵，，， ∴，， ∴四边形的周长 ． 故答案为：8； （2）解：∵当四边形为正方形时，， 即，解得：， ∴． ∵正方形的面积被直线分成两个部分， ∴两部分的面积分别为1和3． 当时，如图1所示： ∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，由得， ∴，， ∴，又， ∴，则， ∴为等腰直角三角形． ∴． 由． ∴（负值已舍去），即； 当时，如图2所示： ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，解得：． ∴，即． 综上所述，当平移的距离为或时，正方形的面积被直线分成两个部分． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平面直角坐标系中，直线AB：交轴于点，交轴于点，直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标． (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值； (3)如图，点是直线上一点，且在点的下方． 求的面积； 以为边在第四象限作等腰直角三角形，求出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式，点的坐标为； (2) (3)；，， 【分析】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． （）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将代入关系式，求出，即可得出点的坐标； （）确定点关于x轴的对称点，再根据轴对称说明的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （）①先求出，，再根据得出答案； ②先以为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可； 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，分别把，代入得 ， 解得： ， ∴直线的解析式， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，如图， 当点，，三点共线，即连接交轴于点，此时存在点使的值最小，的值最小为； （3）解：根据题意可知 ，，， ， 以为直角边作等腰直角，，则为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴轴， ∴， 则点，， ∵， ∴ 轴，， 则点， 综上所述：，，． 15．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． (1)若点在轴上，且为等腰三角形，则点坐标为____________； (2)如图，直线交轴负半轴于点，且，为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点，当点落在直线上时，写出点的坐标为________； (3)在（2）的条件下，为延长线上一点，且，在直线上确定点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标为___________． (4)过点作直线垂直于轴，点在直线上，若的面积等于的面积，则点的坐标为______． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) 【分析】（1）利用两点间距离公式分当时，当时，当时，三种情况求解即可得解； （2）分点绕点逆时针旋转和点绕点顺时针旋转两种情况，利用直线和二元一次方程的关系讨论求解即可； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图，则，利用待定系数法求得直线为，设，证，得，，，利用勾股定理得，解得或（不符合题意，舍去），，由（）得直线∶，设，由，构造方程得，求解即可得； （4）如图，在轴上取，过点作轴交于点，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，连接，，则，证明，得，又证明，得，即和同底等高，和的面积相等，进而利用一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：把点代入直线得， ∴， ∴， 设， 当时，则， 解得（舍去）或， ， 当时，则， 解得或， ∴或， 当时，则， 解得， ∴， 综上或或或， 故答案为：，，，； （2）解：在中，，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当点绕点逆时针旋转时， ∵点绕点逆时针旋转得点，绕点逆时针旋转得点， ∴当点在射线上时，点在射线上， 由图可知射线与直线不相交， ∴点绕点逆时针旋转时，不符合题意，应舍去， 当点绕点顺时针旋转时， 由点绕点顺时针旋转得点，绕点逆时针旋转得点，如图， ∵直线：中，， ∴直线∶， 设直线：， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线：， 联立和得 ， 解得：， ∴， 故答案为：； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图，则， 设直线为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线为 ∴设， ∵， ∴， ∵为射线上一点，以点为旋转中心将点旋转度得到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 由（）得直线∶， 设， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为：； （4）解：如图，在轴上取，过点作轴交于点，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，连接，，则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即和同底等高， ∴和的面积相等， 由直线∶，设直线为， 把代入得， 解得， ∴直线为， 当时，， ∴， 故答案为：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12一次函数中规律、最值、平移、旋转与新定义型问题 的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 类型二、一次函数中求线段和最值问题 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 类型五、一次函数中分段函数探究问题 类型六、一次函数中的新定义型综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数中的规律探究问题 1.分析前几项，寻找模式：根据题目给出的条件，先求出前几个点的坐标或前几条直线的解析式。 把这些具体的例子列出来，仔细观察它们之间的变化规律。 2.归纳猜想，写出通项：根据发现的模式，猜想出第n项的表达式。 这可能是一个坐标(n,y),也可能是一个函数解析式y=kx+bn。 用含n的式子把规律表示出来。 3.验证规律，确保正确：把猜想的通项公式代入到已知的项中进行检验。 如果符合，说明规律很可能是对的。也可以用数学归纳法等方式进行严格证明。 例1.(2526八年级上四川达州期末)如图，已知直线a:y=,直线b:J=和点PL0,过点P 作y销的平行线交直线口于点？，过点P作x轴的平行线交直线6于点月，过点尸作y轴的平行线交直线 ◇ 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点乃，过点P作x转的平行线交直线b于点B…按此作法进行下去，则点P的横坐标为一 3 P.a P P P.b 【变式1】(2026新疆一模)如图，在平面直角坐标系中，点4,4,4，…，和B,B,B,… 分别在直线y=5r+b和x轴上，△0AB,△B4,B,△B,4B,…都是等腰直角三角形.如果点A(1,1, 那么@“的纵坐标是 A3 A2 A B B2 B: 【变式1-2】(2526九年级上广东惠州月考)如图，在平面直角坐标系中，点4，，，4，“…在轴上且 04=1,04,=204,0A=204,0A=204“按此规律，过点4,4,4，A,“作×轴的垂线分别与直 线=VBx交于点月，8，B,8记△0A8,△0AB,a048,0MB,…的面积分别为 S1,S2,S3,S4,… 则e 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B h A1 A2 A3 【变式1-3】(25-26八年级上江苏泰州月考)如图，一次函数片=+6、乃=+b 的图象交于》轴 上的点A,其中 k2、b 为常数且 >6>0,b<0.点P为'正半轴上的一点，过点P作轴的平行线 分别交小”的图象于点B、C,过点8、C作'轴的平行线分别交”的图象于点D、E. B 1=3,k2=1,b=-3 【特例探究】当 时 (1)若点P的纵坐标为3，则BC=一，BD=, CE= (2)求BC:BP的值： (3)求CE:BD的值. 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： BC:BP= CE:BD= .(用含有的代数式表示) 类型二、一次函数中求线段和最值问题 1.寻找对称点：这是最关键的一步。找到其中一个定点关于已知直线的对称点。 这样做的目的是把要求的”折线”转化为”直线”。 3/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.计算最短距离：连接另一个定点和刚才找到的对称点。 这条线段与已知直线的交点就是使得线段和最小的点。 两点间的距离就是我们要求的最小值。 3.代数化求解：如果需要求出具体的坐标或数值，可以通过计算对称点坐标。 然后求出连线的函数解析式。最后计算与己知直线的交点，完成解答。 例2。(25-26八年级上：安徽安庆期末)如图，在平面直角坐标系0中，已知，8两点的坐标为2,3列 (-12),点C在轴上，当4C+8C取最小值时，点C的横坐标为一 【变式2-】(2425七年级下山东烟台期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数”=-+2 的图象 与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P在线段AB上，PCLy轴，垂足为C,则△COP周长的最小值为一 B 【变式2-2】(2425八年级下广东广州期中)如图，已知正比例函数'=k>0) 的图象与x轴相交所成 的锐角为0°，定点A的坐标为Q,6,P为y精上的一个动点，从、N为函数”=k>0, 的图象上的两个 动点，则AM+MP+PN的最小值为一 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-3】(2425八年级上四川达州期中)）如图1，已知直线1与x轴交于点4a0,与y轴交于点 B0,),且a,6满足V2a-2+3-)=0,以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC,其中上 ∠BAC=90°，AB=AC. B 图1 图2 备用图 (I)求直线1的解析式和点C的坐标： (2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线1上一动点，连接PM、PC,求PM+PC的最小值，并求出 当PM+PC取最小值时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是香存在一点Q,使S.nm -95m9若存 在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 类型三、一次函数中直线平移的综合问题 1.掌握平移规律：直线平移时，斜率k保持不变。 -向上平移m个单位，解析式变为y=+b+m 向下平移m个单位，解析式变为y=+b-m 向左平移m个单位，解析式变为y=(x+m)+b 向右平移m个单位，解析式变为y=kx-m)+b 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.结合几何条件：题目通常会给出平移后的直线经过某点，或与坐标轴围成特定面积。 利用这些条件，将已知点坐标代入平移后的解析式，或结合面积公式列出方程。 3.求解未知参数：通过解方程求出平移后的截距b,从而确定平移后直线的完整解析式。 3 例3.在平面直角坐标中，直线 y= 3 r+2 分别与x轴、y轴交于点A与点B,过点B作BC⊥AB交x轴于 点C.过点C作y轴的平行线交AB于点D. (备用图) (1)求线段OA与OB的长度： (2)现将线AB沿A至C向右平移2个单位长度得线段EF(如图)，求线段AB在整个平移过程中扫过图形 的面积： (3)试探索在平移过程中，在直线CD上是否存在点M,使△MEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，若存 在，请求出所有符合要求的点E的坐标：若不存在，请说明理由. 【变式31】在平面直角坐标系中，4-5，，B6,5),Cc,川，且a可+6+2+2c+4作0 D 图1 图2 (I)直接写出点A,B的坐标及c的值： (2)如图1，若三角形ABC的面积为9，求点C的坐标： (3)如图2，将线段AB向右平移m个单位长度得到线段DE(点A与D对应，点B与E对应)，若直线DE 恰好经过点C,求m,n之间的数量关系 【变式3-2】(24-25八年级下·山西吕梁·期末)综合与实践 问题情境： 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,过点B的直线交x轴正半轴于 点C. y B F A C B 图1 图2 图3 初步探究： (I)当∠BAC=∠ABC时，求直线BC的函数解析式： 深入探究： (2)在(1)的基础上，将∠ABC沿着CA方向平移到如图2的位置，得到△DEF,线段EF与AB交于点 G,若G恰好是AB的中点，求平移的距离： 拓展延伸： (3)如图3，将△ABC沿着AC翻折，得到四边形ABCB为菱形，继续沿着CA方向平移△ABC,得到 △DEF,连DB，,CE.试探究：在平移的过程中，四边形DB'CE是否能成为矩形，若能求出平移的距离： 若不能，请说明理由， 【变式3-3】(24-25八年级上·广东深圳·期中)创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数 y=kx+bk≠0 图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离 叫做平移距离. 【探究发现】 y=x+1 =x+5 (1)以一次函数如何平移得到一次函数 为例进行探究。 ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+1的图象，与x轴交于点A,与y轴交于点B: ②观察图象发现，将点4、点B分别向上平移_个单位，平移后的点在直线 =x+5 上.事实上，将一次函 数1 y=x+5 图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线 上，平移距离为4个单位. ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数y=x+1图象上的点向平移，平移距离为个 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 单位，可得直线y=x+5 ④若要使得平移距离有最小值，点A,B应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点A, B' Z5432-1112345x -2 -3 -4 -5 【深入探究】 (2)将一次函数=x+ '按平移距离最小值的方式平移到=x+ 表示)· ,则平移距离为（用， 【拓展升华】 (3)如图， 已知正方形18CD各边平行于坐标轴，且边长为42，点A坐标为2W5,22) , 若线段 PQ=2,且点P,Q在直线y=-x+8上，平移线段PQ使得线段端点恰好落在正方形ABCD的边上，则平 移距离的最小值为_· 5 D 43202456789 2. B 类型四、一次函数中直线旋转的综合问题 方法总结 1.抓旋转中心：绕某点旋转时，该点坐标不变，利用此点建立前后直线方程的联系。 2.斜率关系：旋转90时，新k与原k互为负倒数(k≠0)；旋转特殊角度时，结合三角公式求新斜率。 解题技巧 8/23 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.先求中心点坐标：通过已知条件求出旋转中心的准确坐标。 2.点斜式建方程：已知中心点和旋转后的斜率，用点斜式直接写出新直线方程。 例4.(25-26八年级上·山东菏泽·期末)【模型建立】 (I)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作 AD⊥ED于点D,过点B作BE LED于点E.求证：△BEC≌aCDA 【模型应用】 4:y=2x+3 (2)如图②，已知直线 与轴交于点4，与'轴交于点B,将直线绕点4逆时针旋转45°至 直线的位置，求直线的函数表达式， 40 ① ② 【变式4-1】(25-26七年级上·山东泰安·期末)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况， 即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等 时，模型中必定存在全等三角形 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA.过A作AD⊥ED于点D,过B 作BE⊥ED于点E.试说明：△BEC≌aCDA; y=2x+2 【模型应用】如图2，已知直线 与y轴，x轴分别交于A,B两点，以B为直角顶点在第二象限作 等腰Rt△ABC,求点C的坐标及直线AC的表达式： y=-4x+4 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与y轴交于点P,与x轴交于点Q,将直 PO 45o △PQR 线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R.求 的面积. 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O 图1 图2 图3 【变式4-2】(25-26八年级上江苏南京·月考)【模型建立】 (1)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作AD⊥ED于 点D,过点B作BE⊥ED于点E. 求证：△BEC≌△CDA: 【初步应用】 (2)将点 A3,2 绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点A,则点4坐标为一： B(-3,4 将点 绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点B,则点B'坐标为 【解决问题】 y=2x-4 90° (3)已知一次函数 的图象为直线，将直线绕它与轴的交点P逆时针旋转90°，得到直线'， 则直线'相应的一次函数表达式为 【综合运用】 y=-2x (4)将函数 的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转 90°，所得图象相应的函数表达式为 B 【变式4-3】(25-26八年级上·江苏苏州·周测)【提出问题】 y=-2x+2 (1)将一次函数 的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 10/23