专题02 幂的运算的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题02 幂的运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、逆用幂的相关公式求值 类型三、利用幂的乘方比较大小 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．计算： (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【变式1-2】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1-3】先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 类型二、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【变式2-1】（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【变式2-2】①若，求的值． ②已知，，求的值． 【变式2-3】（1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 类型三、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【变式4-2】我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【变式4-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）若，，则的值为（    ） A．6 B．18 C．10 D．30 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 二、填空题 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： ． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则 ． 8．（24-25七年级下·山东青岛·期中）若，则的值是 ． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·浙江·期中）计算下列各题． (1)； (2)； 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 13．（24-25七年级下·广西贵港·期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，则___________； (2)若， ，求的值． 14．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 15．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知，，，求，，之间的数量关系． （2）已知是正整数，且，求的值． 16．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）初中数学学习，运算法则是基础，我们要认真探究法则运算过程，准确掌握变形技巧和方法，目的是能正确应用，如果，则，例如：，则． (1)根据上述规定，若，求的值； (2)记，求的值． 17．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 18．（21-22八年级上·江西南昌·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 19．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 20．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 幂的运算的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、逆用幂的相关公式求值 类型三、利用幂的乘方比较大小 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】零指数幂、幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类项，得出，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入， 得 【变式1-3】先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【知识点】幂的混合运算 【分析】（1）先根据同底数幂乘法，积的乘方法则计算，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据幂的乘方，积的乘方法则计算，再计算计算乘法，然后计算加法，即可求解． 【详解】（1）解： 当时，原式； （2）解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 类型二、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方， （1）根据幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 【变式2-1】（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算法则． （1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答； （2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴原式； （2）∵，，， 原式． 【变式2-2】①若，求的值． ②已知，，求的值． 【答案】①14；②1． 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键． ①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解； 【详解】解：① =， 当时，原式=； ② = = =， 当，时，原式=， ∵为偶数， ∴原式=1． 【变式2-3】（1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 类型三、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，，由，，得出，根据，即可得出结论． 【详解】解：， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较的大小； (2)比较的大小； (3)已知，比较的大小（均为大于1的数）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键． （1）根据材料一的方法求解即可； （2）根据材料二的方法求解即可； （3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． 类型四、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例4．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式4-2】我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：   ； 故答案为16； （2）解：由题意得：   ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键． 【变式4-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方等基本法则，需逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）若，，则的值为（    ） A．6 B．18 C．10 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂的除法运算及幂的乘方运算，计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知，，，则x、y、z三者之间关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解题关键是能熟练运用幂的乘方的逆用求解． 先将a、b、c、d都化为次方，再比较底数的大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， ， ∴． 故选： B． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球9个、54个、45个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（    ）． A．9 B．81 C．243 D．729 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：调整后，甲袋中有个球，乙袋中有个球，丙袋中有个球． ∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有（个）球， ，， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，则 ． 【答案】18 【分析】该题考查了同底数幂乘法和幂的乘方，根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运用计算即可． 【详解】解：∵，， 则， 故答案为：18． 8．（24-25七年级下·山东青岛·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，由已知可得，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算可把代数式转化为，进而把已知代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法和同底数幂的除法，解题关键是准确求解方程组． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·浙江·期中）计算下列各题． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）计算： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)64 (2)16 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握幂的乘方及其逆运算、同底数幂的乘法法则． （1）将代入原式计算即可； （2）由，知，代入原式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ． ． 13．（24-25七年级下·广西贵港·期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，则___________； (2)若， ，求的值． 【答案】(1)3 (2)1296 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 14．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）由（1）知，，， ； （3）， ， ； 故答案为：． 15．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）（1）已知，，，求，，之间的数量关系． （2）已知是正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法． （1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方，即可得出结论； （2）根据幂的乘方与积的乘法将原式化简，再代入即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵， ∴． 16．（24-25七年级下·贵州铜仁·期中）初中数学学习，运算法则是基础，我们要认真探究法则运算过程，准确掌握变形技巧和方法，目的是能正确应用，如果，则，例如：，则． (1)根据上述规定，若，求的值； (2)记，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，正确理解新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题目所给新定义进行求解即可； （2）先求出，，，再对变形，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：根据定义的公式， 由，得 ； （2）解：，，， ，，， ． 17．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 18．（21-22八年级上·江西南昌·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含x的代数式表示y等． （1）将式子变形得，再对应相等即可得到本题答案； （2）将变形为，继而得到，后移项计算即可； （3）根据题干可得，再代入可得，再展开整理即可． 【详解】（1）解：∵，即：， ∴，即：； （2）解：变形为：，即：， ∴，即：，，解得：； （3）解：∵，即：， ∵，即：， ∴． 19．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法． （1）根据新定义列式求值即可； （2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值； （3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4，64； （2）解：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15； （3）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴的值为． 20．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的性质是解题的关键． （1）仿照探究二比较即可； （2）仿照探究一比较即可； （3）利用积的乘方的逆运算转化，进而比较即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$