第二十二章 相似形（知识清单）数学沪科版九年级上册

第二十二章 相似形 1. 两条线段的比 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. 2. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 3. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 4. 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 5. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 6. 相似多边形的相关概念 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 7. 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等,对应边成比例； 2）相似多边形对应对角线的比等于相似比； 3）相似多边形周长的比等于相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方； 8. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 9. 相似三角形的判定方法： 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两组直角边成比例的两个直角三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 10. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 11. 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 12. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 13. 位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 14. 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 15. 似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 序号 易错点 易错题 注意事项 1 利用相似的性质求面积时出错 1．若相似三角形的周长比为，则面积比为 ．【答案】 2．如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ．【答案】150 相似三角形面积比等于相似比的平方 2 判断平行线分线段成比例时出错 试题1-2（表格下） 等等 3 未用分类讨论解决相似三角形动点问题时出错 试题3-4（表格下） 如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 4 求位似图形的坐标 1. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形扩大为原来的2倍，得到，则点的对应点的坐标为（　D　） A．B．或 C．D．或 以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 1．如图, 在中，D，E，F分别在、、边上，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2. 如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 【详解】解：设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过或后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 4．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 重难点01 相似图形的判定 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断． 【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误； （2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确； （3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确； （4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑． 3．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 重难点02 利用相似图形的性质求解 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，五边形五边形．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是解题的关键．根据相似图形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵五边形五边形，， ∴，， ∴， ∴本题选项A，B，D错误，不合题意． 故选：C． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 【答案】米 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等是解题的关键； 根据多边形的性质之列出比例式，计算即可． 【详解】矩形矩形 ，即， 设的长为x米 ， 解得： ，或（负数不合题意舍去）， 的长为米。 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 重难点03 成比例线段与比例的性质 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故，，，是成比例线段，符合题意； B、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； C、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； D、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可． 【详解】解：设两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴两地的实际距离是． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【详解】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 重难点04 黄金分割 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：支撑点是弦靠近点的黄金分割点，， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，把代入计算求解即可． 【详解】解：∵线段，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 14．（24-25九年级上·安徽·期中）顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质，先证明和都是顶角为的等腰三角形，再根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 和都是顶角为的等腰三角形． 顶角为的等腰三角形为“黄金三角形”， 它的底与腰的比值为， ， 即 ， ∴． 故选：D． 重难点05 平行线分线段成比例 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意得到，即，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，先利用得到，则根据相似三角形的性质即可计算出，再利用证明，则根据相似三角形的性质即可计算出， 然后利用线段的和差解题． 【详解】解：∵，为边上的三等分点， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴. 故选： A． 17．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意利用相似三角形判定及性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A正确， ∵， ∴，B错误， ∵， ∴，C错误， ∵， ∴，D错误， 故选：A． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点D作交于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与交于点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，三角形的中位线，过点作，构造三角形的中位线是解题的关键．过点作交于，可得为的中位线，可得，设，则，根据根据相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， ， 是边的中点，即， ∴， 点是的中点， 是的中位线， ， 由，设，则，， ， ∴， ， ， 重难点06 利用相似三角形的性质求解 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如下图所示，在中，点D在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质；根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 21．（21-22九年级上·上海闵行·期中）下列有关相似三角形的性质，正确的是（    ） A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为 B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为 C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为 D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为，故该选项不正确，不符合题意； B. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为，故该选项正确，符合题意； C. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为，故该选项不正确，不符合题意； D. 如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，其他线段的比等于相似比是解题的关键． 22．（24-25九年级上·江西上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， 故选：D． 23．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 【答案】或2 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的值为或2， 重难点07 相似三角形性质与判定综合 24．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法及灵活应用相似三角形的性质是解决问题的关键． （1）由得出，再由得出，即可证明； （2）由得出与都是等腰直角三角形，再证明得出，通过等量代换得出，即可得出的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ． 25．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据平行四边形的性质求出，，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）证明，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 26．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】根据等边三角形的性质可得：，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，根据角之间的关系可得； 由可知，从而可证，根据相似三角形的性质可得，根据等边三角形的性质可证结论成立； 延长至，连接、，使，由可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证，根据平行线的性质可证，，根据直角三角形的性质可得，根据平行线分线段成比例定理可得：，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：由可知， 在和中，，， ， ， ， 又是等边三角形， ， ； （3）证明：如下图所示，延长至，连接、，使， 由可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，连结，，，与交于点．已知四边形是平行四边形，且． (1)求证： (2)若，求线段，的长． (3)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)125 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可推出，，，得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，，即可得，，再根据相似三角形的性质可得，求得，；再由，得到，最后根据，求得即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，从而推出，进而求得，结合，可推出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）可知，， ， ， ， 四边形的面积为48， ， 由（2）可知， ， ， ． 重难点08 与相似三角形有关的动点问题 28．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【答案】D 【分析】设，则，分和两种情况讨论，结合相似三角形的性质列式求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， 设，则， 分两种情况讨论： ①若， 则有，即， 整理可得， 解得， ∴的长为3或12； ②若， 则有，即， 解得， ∴的长为． 综上所述，的长为3或12或． 故选：D． 29．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶ （1）经过 s ，的面积是面积的； （2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2 或 【分析】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法，进行分类讨论是解题的关键． （1）首先计算出的面积，设t秒的面积是面积的，表示出、，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出方程求解． 【详解】在中，，，， 面积为， 的面积是面积的， 的面积为， 设t秒的面积是面积的， 则，， 在中， ， 解得， 故答案为：2； （2）设经过x秒后，两三角形相似，设t秒的面积是面积的， 则，， ∵， 当或时，两三角形相似． （1）当时， ， （2）当时， ； 所以，经过或秒后，两三角形相似． 30．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 设经过秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：与． 【详解】解：设经过秒后，， 此时，． ∴， ∵， ， ， 设经过秒后，， ， ， ， 所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似． 31．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 重难点09 相似三角形的应用 32．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，则有，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴阴影部分的半径是， 所以地面上阴影部分的面积为：， 故选：． 33．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 通过证明，得出，即可解答． 【详解】解∶根据题意可得∶， ， ． ． ， 故选：C． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 35．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意得， ， ， ， ， ， 则①②得， ， ， ，， ， 解得， 故选：B． 36．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键． 先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解． 【详解】解：如图 ，，， ， ， 即， ． 斜边上的高分成5等份， ． ， ，， ， ， 即， ， 即从上往下数，第一个矩形的长为， 同理可得从上往下数，第二个矩形的长为， 从上往下数，第三个矩形的长为， 从上往下数，第四个矩形的长为， 而所有矩形的宽都为， 所以4张纸条的面积和为． 故选：B． 37．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故答案为：． 38．（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：尺，尺， ∴（尺）； ∴第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 39．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得，则河的宽度等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．易证，即可求得． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故答案为： 40．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 重难点10 位似图形的基础 41．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 42．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念和相似多边形的性质判断即可． 【详解】A. 两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误； B. 两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误； C. 位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确； D. 两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 43．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 44．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 重难点11 利用位似图形的基本性质求解 45．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 与的周长之比是， ， ， ， ． ∴的值为． 故选：C． 46．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 47．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，根据关于原点位似的关系，将点横纵坐标都乘以即可，熟练掌握位似变换的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，， ∴点C坐标为，即， 故选：C． 48．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 49．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点的坐标为， 点的坐标为或， 即点的坐标为或， 故选C． 重难点12 画位似图形 50．（23-24九年级上·安徽·单元测试）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所作； （2）解：如图2，为所作． 51．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 【答案】， 【分析】本题考查了位似图形的知识；连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【详解】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ∴，即． 52．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 【答案】(1)见解析 (2)与的位似比为． (3)见解析 【分析】（1）本题考查位似作图和位似中心的特点，根据各对应点连线所在直线的交点即为位似中心，画出图形，即可解题． （2）本题考查位似比，由（1）中图形，得出，的长度，利用，即可求得与的位似比． （3）本题考查位似作图，根据点P为位似中心，与的位似比等于2，延长到，使，延长到，使，延长到，使，即找出顶点的对应点、、，依次连接对应点，就是所求作的三角形． 【详解】（1）解：如图所示：点O就是位似中心． （2）解：由（1）知，，， ， 与的位似比为． （3）解：如图所示：就是所求作的三角形． 53．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)图见解析，． 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图：点的坐标为， 故答案为：； （2）解：在网格中取格点，，连接，如图： 由网格可知，，，， ∴， ∴和位似，位似比为， 则即为所求三角形； （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P， 由网格可知，点P的坐标为， 故答案为：． 重难点13 与相似三角形有关的热考模型 54．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)如图2，求证：； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质． （1）根据“一线三直角模型”，证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，根据，即可求解． 【详解】（1）解：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ； （2）由（1）可知：， ，， ，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ． 55．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 56．（2024九年级上·全国·专题练习）【问题引入】如图1，等边，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且，求证：． 【模型运用】如图2，在中，，D为AC边上一点，连接BD且，已知，求CD的值． 【能力提升】如图3，在中，D为AC边上一点，连接BD且，，且，直接写出的值． 【答案】【问题引入】：见解析；【模型运用】：2；【能力提升】 【分析】由，可证得； 过点D作于E，设，则，进而表示出，，，根据勾股定理得，，再判断出，先得出AB，进而建立关于x的方程，即可得出答案； 过点A作于M，延长MB至G，使，判断出，得出，根据，设，则，进而表示层，进而表示出（舍去负值），即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【模型运用】解：如图2，过点D作于E， ∴， 设，则， 在中， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或（舍去）或， ∴； 【能力提升】解：如图3． 过点A作于M，延长MB至G，使， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 【点睛】此题事相似三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 57．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 58．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：小明同学在学习了相似三角形的知识后，进行了以下探究活动： (1)建立模型：如图（1）他把一个角图中的的顶点B在等边的边上移动，他发现，请你帮他证明； (2)模型应用：如图（2），点C在的延长线上，且．若，，当时，求的值； (3)延伸探究：如图（3），连接，若，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）根据三角形外角的性质可得，从而证明结论； （2）作交于F点，则，设设，，则，，即可得出答案； （3）延长至点，使得 ，连接，同理得，得，设 ，则，证明，进而解决问题． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：作交于F点 ∵，， ∴， ∴， ∴ 由①得 ∴， ∴设， ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴为等边三角形． ∴， ∴． （3）证明：如图，延长至点，使得 ，连接， 则 ， ， ， 设 ，则， ， 又 ， ． 59．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 60．（23-24九年级上·山东青岛·期中）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解 【分析】（1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】解：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）根据（1）的结果， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大． （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小， 则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方， 此时内接正方形的面积最大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 相似形 1. 两条线段的比 定义：如果选用同一_________的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=_________，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中_________叫做比的前项，_________叫做比的后项. 2. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比_________另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果_________,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段_________叫做比例外项，线段_________叫做比例内项. 3. 比例中项：如果比例线段的内项是两条_________的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 4. 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足_________（此时线段_________是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，_________（或_________）的比成为黄金比，它们的比值为_________，近似值为_________. 5. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组_________所截，所得的对应线段_________. 平行线分线段成比例推论：_________于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的_________成比例． 6. 相似多边形的相关概念 相似图形：把_________的图形叫做相似形. 相似多边形的定义：两个边数_________的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形_________的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“_________”，读作“_________”. 7. 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角_________,对应边成_________； 2）相似多边形对应对角线的比等于_________； 3）相似多边形周长的比_________相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的_________； 8. 相似三角形的定义：三个角对应_________，三条边对应成_________的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为_________. 9. 相似三角形的判定方法： 判定三角形相似的常用定理 直角三角形相似的判定方法 1 _________于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）_________，所构成的三角形与原三角形相似 斜边和直角边对应成_________的两个直角三角形相似 2 三边成_________的两个三角形相似 有一个锐角_________的两个_________三角形相似 3 两边成_________且夹角_________的两个三角形相似 两组直角边成_________的两个直角三角形相似 4 两角分别_________的两个三角形相似 10. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角_________，对应边的比_________. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都_________相似比. 3）相似三角形周长的比_________相似比. 4）相似三角形面积比_________相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则_________. 11. 位似图形定义: 如果两个图形不仅是_________图形，且_________连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 12. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否_________，再看_________是否经过位似中心. 13. 位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于_________. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比_________. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_________. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的_________性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形_________ 14. 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行_________或_________叫做位似变换. 15. 似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为_________或_________. 序号 易错点 易错题 注意事项 1 利用相似的性质求面积时出错 1．若相似三角形的周长比为，则面积比为 ． 2．如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 相似三角形面积比等于相似比的平方 2 判断平行线分线段成比例时出错 试题1-2（表格下） 等等 3 未用分类讨论解决相似三角形动点问题时出错 试题3-4（表格下） 如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 4 求位似图形的坐标 1. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形扩大为原来的2倍，得到，则点的对应点的坐标为（　　） A．B．或 C．D．或 以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 1．如图, 在中，D，E，F分别在、、边上，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 4．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 重难点01 相似图形的判定 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 2．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A．B．C． D． 重难点02 利用相似图形的性质求解 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，五边形五边形．若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      重难点03 成比例线段与比例的性质 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是 ． 9．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知为的三边长，且满足，，求的周长． 重难点04 黄金分割 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·安徽·期中）顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 重难点05 平行线分线段成比例 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，为边上的三等分点，点，在边上，，为与的交点．若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 17．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，和相交于点F，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    19．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边的中点，点在边上，且，与交于点，求的值． 重难点06 利用相似三角形的性质求解 20．（2024九年级上·全国·专题练习）如下图所示，在中，点D在线段上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 21．（21-22九年级上·上海闵行·期中）下列有关相似三角形的性质，正确的是（    ） A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为 B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为 C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为 D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为 22．（24-25九年级上·上饶·期末）若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 重难点07 相似三角形性质与判定综合 24．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 25．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 26．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在等边三角形中，，连接，交于点． (1)求出的度数； (2)求证：； (3)连接，当时，求证：． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点，，分别在边，，上，连结，，，与交于点．已知四边形是平行四边形，且． (1)求证： (2)若，求线段，的长． (3)若四边形的面积为48，求的面积． 重难点08 与相似三角形有关的动点问题 28．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 29．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶ （1）经过 s ，的面积是面积的； （2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似． 30．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 31．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 重难点09 相似三角形的应用 32．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，蜡烛高为，则像的长为（   ）    A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点、的对应点分别是、）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ． 38．（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 39．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得，则河的宽度等于 ． 40．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 重难点10 位似图形的基础 41．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（22-23九年级下·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 43．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 44．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 重难点11 利用位似图形的基本性质求解 45．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 47．（2024·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 49．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 重难点12 画位似图形 50．（23-24九年级上·安徽·单元测试）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 51．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为k，求位似中心的坐标和k的值． 52．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求出与的位似比； (3)以点P为位似中心，在所给的网格图的右边再画一个，使它与的位似比等于2． 53．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ． (2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，位似比为； (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 重难点13 与相似三角形有关的热考模型 54．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)如图2，求证：； (2)如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的长． 55．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 56．（2024九年级上·全国·专题练习）【问题引入】如图1，等边，D为BC边上一点，E为AC边上一个点；且，求证：． 【模型运用】如图2，在中，，D为AC边上一点，连接BD且，已知，求CD的值． 【能力提升】如图3，在中，D为AC边上一点，连接BD且，，且，直接写出的值． 57．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 58．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）问题情境：小明同学在学习了相似三角形的知识后，进行了以下探究活动： (1)建立模型：如图（1）他把一个角图中的的顶点B在等边的边上移动，他发现，请你帮他证明； (2)模型应用：如图（2），点C在的延长线上，且．若，，当时，求的值； (3)延伸探究：如图（3），连接，若，，则____________． 59．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 60．（23-24九年级上·山东青岛·期中）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：；    （2）在中，，，，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；    【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$