第十二章 函数与一次函数（知识清单）数学沪科版2024八年级上册

第十二章 函数与一次函数 1. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4. 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5. 函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 6. 函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 7. 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 8. 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数. 9. 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 10.正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大 k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小 11. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线. 12. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 13. 一次函数与一元一次方程：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 14. 一次函数与二元一次方程组：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应两个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 15. 一次函数与一元一次不等式：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围. 序号 易错点 易错题 注意事项 函数的识别 1．在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时， 是 的函数． 2．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 答案：1.S r 2. ①③④ 代入一个x值，去求y的值，如果可以求出两个y值，那么就不是函数，否则就是函数关系式. 自变量的取值范围 1．函数中自变量的取值范围是 ． 2．函数中，自变量x的取值范围是 ． 答案：1. 2. 在一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分. 一次函数的定义 1．如果是一次函数，那么的值是 答案： 忽略k≠0的隐含条件 一次函数的平移问题 1．将直线向上平移两个单位长度后得到的直线为，则b的值是（   ） A． B．0 C． D．2 2．将直线向下平移个单位长度后，正好经过点，则的值为 ． 答案：1. C 2. 左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 面积计算问题 1．如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ． 答案： 注意分类讨论 重难点01 函数基础知识 1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列图象中，能表示函数图象的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】解：A选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B符合题意； C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意， 故选B． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知圆周率为，在圆的周长与圆的半径之间的函数关系式中，变量是（　　） A．， B．， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了常量和变量，变量是改变的量，常量是不变的量．据此即可确定变量与常量． 【详解】解：在函数关系式中，变量是、，常量是， 故选：B． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长公式列出等式变形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，且 ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查求函数解析式及自变量x的取值范围，根据题意列等量关系式及根据实际有意义求取值范围是解题的关键． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且 ． 故选D． 5．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 【答案】A 【分析】此题考查的是根据函数值，求自变量的值，把代入解析式即可求解，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴此情况不存在， ∴的值为， 故选：A． 重难点02 函数图像的识别 6．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗即可得出答案． 【详解】解：根据函数图像可知，后期的增长速度慢，所以容器底部细，上部粗， 故选：A． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与实际应用相结合，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故与的关系变为先快后慢，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型，再结合实际意义得到正确结论是解题的关键． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：B． 8．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（     ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律，理解题意，作出辅助线是解题关键．分三段来考虑点P沿A→D运动，的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，的面积不变；点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同时考虑各段的函数解析式，据此选择即可得． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，则 当点P在线段上时，，b是定值，y是x的一次函数，    点P沿A→D运动，的面积逐渐变大，且y是x的一次函数， 点P沿D→C移动，的面积不变， 点P沿C→B的路径移动，的面积逐渐减小，同法可知y是x的一次函数， 故选：A． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某人去上班，先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走，如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合y与x的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据行走过程速度的变化和距离变化的关系进行判断即可，根据速度和距离的变化关系是解决本题的关键． 【详解】解：A C、某人去上班，当时，表示他离单位最远，图象不过原点，故A C 不符合题意； B D、先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走，刚开始变化率较大，图象较陡，后来变化率较小，图象较缓，故B不符合题意，D符合题意． 故选：． 重难点03 从函数图像上获取信息 10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意先分别求出段函数解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设：段直线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为：， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵轿车再休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需， ∴点的坐标为， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵两车相距分两种情况： ①当轿车休息前与货车相距时，有：，解得， ②当轿车休息后与货车相距时，有：，解得：， 综上所述：两车出发h或h时，两车相距． 故选：C． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两人之间的最远距离是米 B．乙追上甲后，再走米才到达终点 C．乙用分钟追上甲 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件． 根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故原选项正确，不符合题意； 根据图象，甲步行分钟走了米，甲步行的速度为（米分钟），乙的速度为（米分钟）， 则乙走完全程的时间为（分钟）， 乙追上甲剩下的路程为：（米）， ∴乙追上甲后，再走米才到达终点，故选项正确，不符合题意； 当乙到达终点时，甲步行了（米）， 甲离终点还有（米）， 故甲乙两人之间的最远距离是米，故错误，符合题意； ∵甲步行了米， ∴甲离终点还有（分）， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，故正确，不符合题意， 故选：． 12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求出一次函数解析式，借助函数图象来求解是解答关键．从函数图象可求出摩托车的速度，可判断A；从函数图象可知自行车比摩托车早出发两小时来求解，可判断B；先求出摩托车的解析式和自行车的解析式，再求出它们的交点横坐标即可求解，可判断C、D． 【详解】解：A．由图象可知，摩托车的速度是，故此项不符合题意； B．由图像可知，自行车比摩托车早出发两小时，故此项不符合题意； C．设摩托车的解析式为， 将点和代入得， 解得， 设自行车的解析式为， 将点代入得， 所以自知行车的解析式为， 由题意可知，当摩托车与自行车相遇时：，解得： 则，故此项不符合题意； D．由上可知，故此项错误，符合题意． 故选：D． 13．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或小时．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为20，可求得t，得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误； 当乙追上甲后，令，， 解得：， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或．故④正确； 综上可知正确的有①②④，共3个． 故选：C． 14．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示．请你根据图象，回答下列问题： （1）当 时，甲与乙相遇； （2）在甲、乙相遇之前，甲与乙相距时， ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了从图象中获得信息，一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）利用待定系数法分别求出甲，乙（）的函数解析式，联立即可解答； （2）先求得乙在的函数解析式，结合（1）甲的函数解析式，分变速前和变速后两种情况列方程解答即可． 【详解】解：（1）设甲所跑的路程与时间之间的函数关系为， 则，解得：， ∴甲的函数解析式为：； 设乙跑的路程与时间之间的函数关系式为：（），经过点，，联立方程可得： ， 解得， 乙的函数解析式为：； 令，解得：， 则当时，甲与乙相遇； 故答案为：； （2）设乙跑的路程与时间之间的函数关系式为：（），经过点， 则，解得：， 乙的函数解析式为：； ∵甲、乙相遇之前，甲与乙相距， 乙变速前则， 解得：； 乙变速后则， 解得：； 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·安徽·期中），两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 【答案】(1)2；； (2)千米小时 (3)见解析 【分析】本题考查了函数图象，路程和时间速度公式等． （1）路程不变的过程就是休息的过程，结合函数图象可得出点至点之间骑车人骑了千米； （2）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可； （3）计算出时，时客车与地的路程，利用两点法继而得到图象． 【详解】（1）解：通过图象可知骑行人休息了两次，共休息了2小时，点至点之间骑车人骑了千米， 故答案为：2；；； （2）解：平均速度千米小时， 答：骑车人返回家时的平均速度是千米小时； （3）解：9点时客车从出发，此时距离地千米， 时，客车到达地，千米， 时，客车又到达地，千米， 如图所示： ． 重难点04 动态函数图像问题 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据点的运动路径，当点分别在上、上、上表示出的面积随的变化情况即可判断． 【详解】解：由题知，因为四边形是矩形，且，，． 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，， 当时，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而减少， 当时，点与点重合，； 当点在上运动，即时， 的面积随的增加而增加， 当时，． 对照四个选项，不难发现C选项符合题意． 故选：C． 17．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数问题，先通过和计算出，根据计算a的值，b的值是除以速度加a的值，当时找到P点位置计算面积即可判断y值． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， A．当时点P运动到点E，此时，解得，则A正确，故本选项不符合题意； B．由，，得，结合点P的运动速度为，得，那么，则B正确，故本选项不符合题意； C．由，点P的运动速度为，得，则，C错误，故本选项符合题意； D．当时，，则D正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 18．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，点P从点A出发，沿移动至终点B．设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（    ）    A．    B．  C．    D．   【答案】C 【分析】本题考查正方形性质，中点的特点和函数图象的特点，根据题意求出当，即点P与点A重合时，的面积，即可解题． 【详解】解：正方形的边长为4， ，， 点E是的中点， ， 当，即点P与点A重合时，的面积， 即图象过点， 故选：C． 19．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 【答案】 4 12 【分析】（1）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，判断出，，进而可以得解； （2）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，抓住当时，的面积进而进行计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，三角形的面积逐渐变小． 故， ∴． 故答案为：4． （2）由题意，当时，的面积， 又， ∴． ∴． 故答案为：12．　　　　　． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题．    图甲图乙 (1)填空：图甲中的__________，__________； (2)求：图乙中的的值； (3)求：图乙中的的值． 【答案】(1)8；4； (2)24； (3)17． 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义； （1）根据题意得：动点在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；根据图象求出的长； （2）由（1）可得的长，又由，可以计算出的面积，计算可得的值； （3）计算的长度，又由的速度，计算可得的值． 【详解】（1）动点在上运动时，对应的时间为0到4秒， 易得：； ， 故答案为：； （2）由（1）可得，， 则：； 图乙中的的值是24． （3）根据题意，动点共运动了， 其速度是秒， 则(秒)， 图乙中的是17秒． 重难点05 一次函数的识别 21．（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．根据一次函数和正比例函数的概念解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故选项符合题意； B、不是一次函数，故选项不符合题意； C、是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； D、不是一次函数，故选项不符合题意． 故选：A． 22．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，此题可以根据正比例的定义进行解答． 【详解】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 23．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 24．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】题目主要考查正比例函数，求一次函数解析式，能够利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据题意设，，则，得到求解即可． 【详解】解：设，，则， 根据题意得， 解得． ． 重难点06 待定系数法求函数解析式 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式． 【答案】． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，由图可得点，设直线的表达式为，把点，代入得，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据一次函数的图象与直线平行，得，于是解析式变为，把当时，代入解析式解答即可． （2）利用描点法画图象即可． 本题考查了直线的平行条件，待定系数法，画函数图象，熟练掌握平行的条件，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据一次函数的图象与直线平行， 得， 故直线的解析式变为， 把当时，代入解析式得， 解得， 故直线的解析式为． （2）解：根据描点法画图象，，画图如下： 27．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图像交于点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式； （1）先求出两点坐标，即可求出解析式，再设点坐标根据列方程求出点坐标代入计算即可； （2）观察函数图象发现满足不等式的点都在点左边，即可解不等式． 【详解】（1）解：， ，代入， 得：， 解得， 一次函数的表达式为：， 将代入：，中得， 代入中得 ； （2）解：由图可得不等式：的解集为． 重难点07 画函数图像，并根据七图像判断性质 28．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)②见解析，③ABC (2)，且 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 29．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 【答案】(1)①全体实数；② (2)见解析 (3)①（答案不唯一）的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到；②（答案不唯一）当时，函数有最大值，最大值为1；③ 【分析】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键． （1）①根据函数可得自变量的取值范围是全体实数；②分别把点，代入计算，再比较大小即可； （2）先补充表格，再描点画图即可； （3）①根据函数图象平移规则：左加右减，上加下减可得答案；②结合函数图象的最高点可得函数的最大值，③结合图象可得交点位置，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①函数的自变量的取值范围是全体实数； ②∵点，是该函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：补全表格得， … 0 1 3 5 … … 1 … 在平面直角坐标系画出函数图象如图． （3）解：①的图象先向上平移1个单位得到，再向左平移1个单位得到．（答案不唯一） ②当时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一） ③当时， 由图知，即， 解得， 重难点08 正比例函数的图像与性质 30．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经 经过第二、四象限，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、三象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第一、三象限，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，符合题意； 故选：D 31．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 32．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图像，解题的关键是掌握一次函数、正比例的图像与系数的关系．根据一次函数的图像与系数的关系，由一次函数图像分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图像是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图像可知，，，，故；正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； B、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像不满足这一关系，故此选项符合题意； C、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； D、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 33．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 34．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（为常数）． (1)当满足条件______时，该函数是正比例函数；当满足条件______时，随的增大而增大． (2)当满足条件______时，函数图象经过点． (3)若该函数图象不经过第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义和性质，解不等式组，根据题意正确的得到不等式组是解题的关键． （1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据函数图象经过点，将代入求解即可； （3）根据函数图象不经过第一象限，列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于函数， ∵是的正比例函数， 且， 解得：； 当，即时，随的增大而增大； 故答案为：；； （2）解：当函数图象经过点时， 将代入， 得：， 解得：， 故答案为：． （3）解：∵该函数图象不经过第一象限， 则， 解得：， 故的取值范围为． 重难点09 一次函数的图像与性质 35．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.令，则， 一次函数的图象与轴交于点， 故该选项正确，不符合题意； B.， 随的增大而增大， 故该选项正确，不符合题意； C. 令，则， ， 故该选项正确，不符合题意； D. ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限 故该选项错误，符合题意； 故选： D． 36．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数图象是一条直线 B．函数图象过定点 C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象与性质分别分析各选项即可． 【详解】解：A、∵函数为一次函数，故图象是一条直线，A正确，不符合题意； B、当时，， ∴该一次函数图象过定点， 故B正确，不符合题意； C、∵，， ∴该函数图象经过第二、三、四象限， 故C正确，不符合题意； D、∵当时，， ∵ ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知在函数的图象上有点，，下列对于与的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的增减性，，y随x的增大而减小解答． 【详解】解：∵一次函数函数的解析式为：， ∴， ∴函数中，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 38．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的一次函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 39．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 首先，根据直线经过的点可以得到，然后，由直线不经过第三象限得出和的取值范围，最后，将代入，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，即， ∵直线不经过第第三象限， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知一次函数的，即可求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式组，点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图得出一次函数经过第一、三、四象限 由题意得，， ∴， ∴， ∴点所在的象限为第一象限 故选：A． 41．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； (2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围； 根据一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数和常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ， 解得：； （2）解：若一次函数的图象不经过第二象限， ， 解得：． 42．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【答案】(1) (2)函数值的最小值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质， （1）把点，的坐标分别代入，得到关于的方程组，解方程组求得的值即可得出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及即可得出y的最小值； 熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y的值为最小，最小值． 重难点10 一次函数与一元一次方程 43．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由直线向右平移8个单位得到直线，从而可得直线与x轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移8个单位所得， ∵与x轴交点为， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：A． 44．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 45．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：关于x的方程的解，是直线与x轴交点的横坐标，理解这一关系是解题的关键；由题意得点A的坐标，从而可求得方程的解． 【详解】解：由题意知，直线与x的负半轴交点点A，且， ∴， ∴关于x的方程的解为； 故选：B． 46．（23-24八年级上·安徽池州·期末）已知直线与直线相交于x轴上一点,则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了两条直线的交点问题,两条直线与x轴的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达的． 首先求出一次函数与x轴交点,再把此点的坐标代入,即可得到k的值． 【详解】解：∵直线与x轴相交, ∴, ∴, ∴与x轴的交点坐标为, 把代入中：, ∴． 故答案为：3． 重难点11 一次函数与不等式 47．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 48．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：∵关于的不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的上方， ∴结合函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：B． 49．（21-22八年级上·江苏苏州·阶段练习）函数与的图象如图所示，当，时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质和图象，一次函数的性质与图象，根据图象分别求出当，时x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：对，当时，， 有图象知：当时，， 当时，， ∴x的取值范围为：． 故答案为：． 重难点12 一次函数与二元一次方程组 50．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中两直线，的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象交点与二元一次方程组的关系，理解一次函数图象交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应分别解四个选项中的方程组，然后即可确定正确的选项． 【详解】解：由图象可知两直线的交点为，即方程组的解应为， A、解方程组得，故错误，不符合题意； B、解方程组得，正确，符合题意； C、解方程组得，故错误，不符合题意； D、解方程组得，故错误，不符合题意； 故选：B． 51．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 52．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、坐标与图形等知识点，掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解答本题的关键． （1）把代入可计算出m的值，把代入可求出n的值，联立两解析式所组成的方程组即可得到P点坐标； （2）观察函数图像得到，当x大于P点的横坐标时，，据此即可解答． （3）直接根据坐标与图形和三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， ∴， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得， ∴； （2）解：由函数图象可得，当时，； （3）解：令，则，则，即， ∴， ∴． 重难点13 一次函数与实际问题 53．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 【答案】(1)甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； (2)综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 【分析】本题主要查了列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； （2）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； （2）解：当，即时，两家企业方案所需费用一样； 当，即时，乙企业方案所需费用购买更合算； 当，即时，甲企业方案所需费用购买更合算； 综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 54．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)5500元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． 【详解】（1）解：由题知， 与的函数表达式为． （2）解：由题知 由（1）知 ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，（元）． 55．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【答案】(1) (2)出租车出发4小时后距离景点甲地60千米 (3)高铁站与服务区乙地相距100千米． 【分析】（1）根据题意分和两种情况，然后分别利用待定系数法求解即可； （2）首先求出出租车出发4小时后距离高铁站的距离，然后列式求解即可； （3）首先求出去时的速度为，返回时的速度为，设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时，然后根据去时和返回时乙地到景点的距离相等列出方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将代入得， 解得 ∴； 当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将，代入得， 解得 ∴ 综上所述，； （2）解：将代入 ∴（千米） ∴出租车出发4小时后距离景点甲地60千米； （3）解：1小时50分钟（分钟）（小时） ∵去时的速度为，返回时的速度为， ∴设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时 根据题意得， 解得 ∴（千米） ∴高铁站与服务区乙地相距100千米． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 56．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程（米）与行走时间（分）之间的函数关系的图象． (1)小明家到学校的距离为_____米，图中的值是_____； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)经过多少分时，小明距离学校100米？ 【答案】(1)240，18 (2) (3)3.5分或8.5分 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）观察图象可知小明家到学校的距离；根据速度路程时间求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到新华书店的距离，再根据时间路程速度求出小明从家到新华书店所用时间，即的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明家到学校的距离为240米； 小明步行的速度是（米分）， 小明家到新华书店的距离为（米， 则小明从家到新华书店所用时间为（分， ． 故答案为：240，18． （2）解：设线段所表示的与之间的函数表达式为． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段所表示的与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 当时，令，可得， 解得．     答：经过3.5分或8.5分时，小明距离学校100米． 57．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 58．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 【答案】(1)当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元 (2)， (3)①A；②或时，两种品牌共享电动车收费相差4元 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）由图象可得当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）利用待定系数法确定；即可． （3）①由骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，当时，构建方程，当时，构建方程，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元． （2）设，经过， ， 得， ． 当时，； 当时， 设，函数经过，， 则 解得 ， ∴； （3）解：①∵骑行时间， ∴当骑行时间小于，A品牌更省钱． ②当时，， 得． 当时，， 变形得， 解得（舍去）或， 或时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 59．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 重难点14 求直线与坐标轴围成的图像面积 60．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可； 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴． （2）解：把代入，得：和， ∴， ∵， ∴直线，与轴围成的三角形面积为：. （3）解：把分别代入，得： 和， ∴， ∴的中点为， ∵过点E的直线把面积两等分， ∴这条直线过E点以及的中点， 设过E点且把面积两等分的直线的解析式为 把点代入得:， 解得：， ∴这条直线的解析式为. 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键. 61．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法和利用数形结合思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法将点、的坐标代入所设的表达式中，解出，的值，再代回所设的表达式即可； （2）根据待定系数法求出直线的表达式，继而求出，，设，利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 代入点得，解得， 直线的表达式为：． （2）设的表达式为，把，代入， 得，解得， 直线的表达式为：， 令，则， 点的坐标为，即， ， 点是直线上一动点， 设， ， ， 面积等于， ，解得， 或． 62．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【答案】(1)； (2)6 (3)或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解； （2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解； （3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，． ∴． ∴，． ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意，联立方程组， 解得， ∴C的坐标为． ∴； （3）解：由题意，如图， ∵过点C的直线将的面积分为， ∴或， ∴或， ∴D的坐标为或， 又∵C的坐标为， 同理，由待定系数法求得直线的解析式为或． 63．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合运用， （1）把点在直线上，可得，在运用待定系数法，将，代入直线的表达式为，即可求解； （2）由（1）可得，，，则，根据，代入求值即可； （3）设，根据，，且，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴．即， 设直线的表达式为，将，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：由（1）可得，， 直线，令，可得， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得或11， ∴点的坐标为或． 重难点15 一次函数与几何综合 64．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知一次函数的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点M，N在直线上，且点M在第二象限，点N在第四象限，，为等腰直角三角形，且，． (1)求证：； (2)求直线的函数表达式； (3)在第二象限内是否存在点P，使得是以为直角的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据证明即可； （2）先根据求出A点的坐标，再设直线的表达式为，将A、C两点的坐标代入其中，利用待定系数法求解即可； （3）作，且，连接，则就是以为直角的等腰三角形．作于D点，根据证明，则可求出和的长，进而得出P点的坐标． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形， ，． 又∵， ∴． （2）解：由得，， 设直线的表达式为， 将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为． （3）解：如图，作，且，连接， 则就是以为直角的等腰三角形， 作于D点， 则， ， ， 又， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、利用待定系数法求一次函数表达式以及平面直角坐标系中求点的坐标，熟练掌握以上知识，运用数形结合的思想是解题的关键． 65．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、，点、均在函数图象上． (1)判断点是否在直线上，并说明理由； (2)当时，求的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使得的面积为3？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点在直线上，见解析 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）在中，令得，即知，在直线上； （2）在中，令得，得，令得，得，然后问题可求解； （3）求出，的坐标，由的面积为3，可得，从而可得的坐标． 【详解】（1）解：，在直线上，理由如下： 在中， 令得， ，在直线上； （2）解：在中， 令得， 解得， 令得， 解得， 当时，的取值范围是； （3）解：存在点P， 理由：由（1）知：点，由（2）知：点， 设点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点P的坐标为或. 【点睛】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握函数图象上的点坐标满足函数解析式． 66．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线（横坐标为的所有点组成的直线），直线（纵坐标为的所有点组成的直线）分别交于点A，B，直线与直线交于点． (1)若直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为2，求的值． (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点，记线段，，围成的区域（不含边界）为． ①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①1个；②或 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征，图形与坐标，能够数形结合解题，根据变化分析区域内整数点的情况是解题的关键． （1）令，求出点N的坐标，令，求出点M的坐标，从而得到，的长，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①当时，，，，画出函数的图象，根据图象即可求得在区域内有1个整数点； ②当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当时，依照在每一个小正方形边长范围内讨论：当时；当时；…；重点分析的情形，找到规律，以此类推，得出当以后的情况即可得到答案． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． （2）解：①当时， ∵点A为直线与直线的交点， 解方程组得， ∴， ∵点B为直线与直线的交点， 解方程组得， ∴， ∵点C为直线与直线的交点， ∴， 如图， ∴在W区域内有1个整数点； ②根据题意，作出图象，如图所示： 当时， 当时， ∵直线与直线交于点A，与直线交于点B，直线与直线交于点． ∴、、， 当时，如图所示，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时， 点的横坐标为， 判断出点始终在直线的右侧， 下面依照在每一个小正方形边长范围内讨论： 当时，如图所示： 内点的横坐标在到1之间，而W内存在的整数点横坐标只能为0，而当时，W区域内纵坐标在0和1之间，而在边界上，不符合题意， ∴当时，内无整点； 当时，如图所示： 内存在的整数点横坐标只能为，此时边界上两点坐标为和，则，只要不是整数，上必有整点；但时，只有两个边界点为整点，故当时，内无整点； 当时，如图所示： 横坐标为的边界点为和，线段长度为，上必有整点，故当时，内有整点； 依此类推，以后的情形与情况一样，同理可知内有整点； 综上所述：或时，内没有整数点． 67．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知y关于x的一次函数（且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F． (1)直接写出该定点F的坐标； (2)如图，当时，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线，点C在线段上运动，过点C作x轴的垂线交直线于点D，交直线于点E． ①当点C的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标； ③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点H的坐标或或． 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将一次函数变形，根据图象过定点，得到与k值无关，可求出x、y的值，即可确定定点的坐标即可； （2）根据已知条件得到点A坐标为；点B坐标为．①求得直线的解析式为，得到C的坐标是，求得，根据三角形的面积公式求解即可；②如图：过点F作轴于N，过点G作轴于M，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再确定点G的坐标即可；同理可得：当时，点G的坐标；③当时，，根据对称性得；当时，，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（且k为常数）， ∴， ∵不论k为何值，上式都成立， ∴， ∴． ∴无论k 为何值，函数图象必过定点． （2）解：当时，一次函数可化为， 当时，；当时，，即， ∴点A坐标为；点B坐标为． ①∵， ∴直线的解析式为， ∴C的坐标是， ∴当时，， ∴， ∴的面积； ②如图：过点F作轴于N，过点G作轴于M， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：当时，； 综上，点G的坐标为或； ③如图，∵是公共边，故有两种情况： 当时，， 根据对称性得； 当时，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴中点的坐标为， ∵， ∴由中点坐标公式得， 当时，． 综上所述，在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，点H的坐标或或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 函数与一次函数 1. 变量：在一个变化过程中，____________的量称为变量. 2. 常量：在一个变化过程中，____________的量称为常量. 3. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有____________的值与其对应，那么我们就把x称为____________，把y称为____________，y是x的____________. 4. 函数值：如果在____________内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 5. 函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把____________与____________分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 6. 函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把____________和____________列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 解析法 两个变量之间的函数关系可以用____________来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 图像法 用____________来表示函数关系的方法叫做图像法 7. 正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数. 8. 一次函数的定义：一般地，形如____________的函数，叫做一次函数. 9. 正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过____________一条直线. 10.正比例函数的性质： k的符号 图像 图像的位置 增减性 k＞0 图像经过____________ 和第____________、____________象限 y随x增大而____________ k＜0 图像经过____________ 和第____________、____________象限 y随x增大而____________ 11. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条____________，通常也称直线. 12. 一次函数的性质： 一次函数 k、b 的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 增减性 y随x增大而____________ y随x增大而____________ 与y轴交点的位置 经过 的象限 13. 一次函数与一元一次方程：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为____________时，求自变量的____________. 14. 一次函数与二元一次方程组：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应两个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个____________，因而也对应____________. 15. 一次函数与一元一次不等式：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值____________的自变量x的取值范围. 序号 易错点 易错题 注意事项 函数的识别 1．在圆的面积公式中，是常量，当半径为自变量时， 是 的函数． 2．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 代入一个x值，去求y的值，如果可以求出两个y值，那么就不是函数，否则就是函数关系式. 自变量的取值范围 1．函数中自变量的取值范围是 ． 2．函数中，自变量x的取值范围是 ． 在一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分. 一次函数的定义 1．如果是一次函数，那么的值是 忽略k≠0的隐含条件 一次函数的平移问题 1．将直线向上平移两个单位长度后得到的直线为，则b的值是（   ） A． B．0 C． D．2 2．将直线向下平移个单位长度后，正好经过点，则的值为 ． 左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 面积计算问题 1．如果直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是9，那么的值为 ． 注意分类讨论 重难点01 函数基础知识 1．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列图象中，能表示函数图象的是（   ） A．B．C．D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知圆周率为，在圆的周长与圆的半径之间的函数关系式中，变量是（　　） A．， B．， C．，， D．， 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）已知一个长方形的周长50cm，相邻两边分别为，，则它们的关系为是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 重难点02 函数图像的识别 6．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水时间t的函数关系的大致图象如图，则该容器可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是某蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量把这个空水池注满．则能大致表示水池内水的深度h和进水时间t之间的关系的图象是（） A．B．C．D． 8．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，点 P是矩形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x， 的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（     ）  A． B． C．  D． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）某人去上班，先按一定速度匀速行走，中途减速后再次匀速行走，如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合y与x的关系的是（    ） A． B． C． D． 重难点03 从函数图像上获取信息 10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两人之间的最远距离是米 B．乙追上甲后，再走米才到达终点 C．乙用分钟追上甲 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由地到地行驶，两地之间的距离是千米．请结合图象判断下面四个结论，错误的是（　　） A．摩托车的速度是 B．自行车比摩托车早出发两小时 C． D． 13．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或小时．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示．请你根据图象，回答下列问题： （1）当 时，甲与乙相遇； （2）在甲、乙相遇之前，甲与乙相距时， ． 15．（24-25八年级上·安徽·期中），两地相距千米，图中折线表示某骑车人离地的距离与时间的函数关系．有一辆客车点从地出发，以千米时的速度匀速行驶，并往返于，两地之间．乘客上、下车停留时间忽略不计 (1)从折线图可以看出，骑车人一共休息______次，共休息______小时；点至点之间骑车人骑了______千米． (2)通过计算说明，骑车人返回家时的平均速度是多少？ (3)请在图中画出点至点之间客车与地距离随时间变化的函数图象． 重难点04 动态函数图像问题 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，，动点从点出发，沿的路线匀速移动，到达点停止．设点的运动路程为，则三角形的面积与之间的关系用图象表示为（   ） A．B．C． D． 17．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图1，在长方形中，，E是边上一点，且，点P从点B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为，运动时间为，的面积为，y与t的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．当时， 18．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，点P从点A出发，沿移动至终点B．设P点经过的路径长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（    ）  A． B．C．D．   19．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 20．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图甲是一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，试回答下列问题．    图甲图乙 (1)填空：图甲中的__________，__________； (2)求：图乙中的的值； (3)求：图乙中的的值． 重难点05 一次函数的识别 21．（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 23．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 24．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知中，其中与成正比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数表达式． 重难点06 待定系数法求函数解析式 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，已知直线经过，两点，求直线的表达式． 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且当时，． (1)求出这个一次函数的表达式； (2)画出该函数的图象． 27．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图像交于点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 重难点07 画函数图像，并根据七图像判断性质 28．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 29．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)①函数的自变量的取值范围是______； ②若点，是该函数图象上的两点，则______（填“”“”或“”）． (2)请补全下表，并在平面直角坐标系中，画出该函数的图象： … 0 1 3 5 … … … (3)函数和函数的图象如图所示，观察函数图象可发现： ①的图象怎样平移才能得到的图象？ ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质； ③当时，______． 重难点08 正比例函数的图像与性质 30．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 31．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 32．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A．B．C． D． 33．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 34．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（为常数）． (1)当满足条件______时，该函数是正比例函数；当满足条件______时，随的增大而增大． (2)当满足条件______时，函数图象经过点． (3)若该函数图象不经过第一象限，求的取值范围． 重难点09 一次函数的图像与性质 35．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）对于一次函数，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 36．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数图象是一条直线 B．函数图象过定点 C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当时， 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知在函数的图象上有点，，下列对于与的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 38．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 41．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； (2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 42．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 重难点10 一次函数与一元一次方程 43．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级上·安徽池州·期末）已知直线与直线相交于x轴上一点,则 ． 重难点11 一次函数与不等式 47．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 49．（21-22八年级上·江苏苏州·阶段练习）函数与的图象如图所示，当，时，的取值范围是 ． 重难点12 一次函数与二元一次方程组 50．（20-21八年级上·安徽安庆·期中）图中两直线，的交点坐标可以看作下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 51．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 52．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 重难点13 一次函数与实际问题 53．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 54．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 55．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 56．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知学校在小明家和新华书店之间，小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店．图2是小明步行时离学校的路程（米）与行走时间（分）之间的函数关系的图象． (1)小明家到学校的距离为_____米，图中的值是_____； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)经过多少分时，小明距离学校100米？ 57．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 58．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义； (2)求，关于x的函数表达式； (3)①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？ 59．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 重难点14 求直线与坐标轴围成的图像面积 60．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，直线：交x轴，y轴于A，B两点，直线：交x轴，y轴于C，D两点，直线，相交于点E． (1)点E的坐标为________； (2)直线，与x轴围成的三角形面积为________； (3)过点E的直线把面积两等分，求这条直线的表达式． 61．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 62．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 63．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线经过点，且与直线交于点，直线与，轴分别交于点，，直线交轴于点． (1)求的值及直线的表达式． (2)计算四边形的面积． (3)是直线上一点，若，求点的坐标． 重难点15 一次函数与几何综合 64．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知一次函数的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点M，N在直线上，且点M在第二象限，点N在第四象限，，为等腰直角三角形，且，． (1)求证：； (2)求直线的函数表达式； (3)在第二象限内是否存在点P，使得是以为直角的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 65．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、，点、均在函数图象上． (1)判断点是否在直线上，并说明理由； (2)当时，求的取值范围； (3)在轴上是否存在点，使得的面积为3？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 66．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与直线（横坐标为的所有点组成的直线），直线（纵坐标为的所有点组成的直线）分别交于点A，B，直线与直线交于点． (1)若直线与轴负半轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为2，求的值． (2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点，记线段，，围成的区域（不含边界）为． ①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 67．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知y关于x的一次函数（且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F． (1)直接写出该定点F的坐标； (2)如图，当时，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线，点C在线段上运动，过点C作x轴的垂线交直线于点D，交直线于点E． ①当点C的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标； ③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$