精品解析：河北省衡水市第二中学2025-2026学年高三上学期一调考试数学试题

衡水市第二中学高三年级一调考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故选：A. 2. 下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数性质判断的单调性，根据反比例函数的性质判断B，根据二次函数性质判断D，根据复合函数单调性判断法则判断C. 【详解】在上单调递增； 在单调递减，单调递减， 但，，所以函数不在定义域内单调递减； 在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减； 函数在内为减函数，，函数在内为增函数， 所以函数在定义域内为减函数， 故选：C. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解. 【详解】设，. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以当时，的最小值为3， 故选：C 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 5. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 6. 关于函数的性质，下列说法中错误的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 方程有且只有一个实根 D. 函数的图象不是中心对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域的概念，值域的概念，方程的根与函数零点的关系，以及中心对称的定义，逐一判断各选项正误. 【详解】可知在上，所以，所以定义域为R，A正确； 由可知，所以函数值域为，所以B正确； 由，化简得，根据函数图形可知 有且仅有一个交点，所以方程有且只有一个实根，所以C正确； 设函数关于中心对称， 则，当时，此时， 即，即函数关于中心对称，所以D错误. 故选：D. 7. 已知，则x､y､z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可得出的大小关系. 【详解】， ， 即， ，而， ，又， ， 综上，， 故选：D 8. 命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）； 命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立； 命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0. 则下列说法正确的是（ ） A. 只有q1是p的充分条件 B. 只有q2是p的充分条件 C. q1，q2都是p的充分条件 D. q1，q2都不是p的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出 f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件.对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f（a），命题q2都是p的充分条件. 【详解】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时， 当a＞0时，此时x+a＞x， 又因为f（x）单调递减， 所以f（x+a）＜f（x） 又因为f（x）＞0恒成立时， 所以f（x）＜f（x）+f（a）， 所以f（x+a）＜f（x）+f（a）， 所以命题q1⇒命题p， 对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0， 当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0， 又因为f（x）单调递增， 所以f（x+a）＜f（x）， 所以f（x+a）＜f（x）+f（a）， 所以命题p2⇒命题p， 所以q1，q2都是p的充分条件， 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为1 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD，举反例判断即可；对于B，由复数的模和几何意义求解即可；对于C，由共轭复数的概念和复数乘法运算即可. 【详解】对于A，设，则，但不成立，故A错误； 对于B，若，则设， 从而，等号成立当且仅当， 所以若，则的最小值为1，故B正确； 对于C，设，则，故C正确； 对于D，，则，但不成立，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，即可判断A；求出，再根据周期性即可判断B；根据函数的周期性即可判断C；判断处函数的奇偶性，即可判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，所以， 即， 所以， 所以4为的一个周期，故A正确； 因为，所以， 所以， 又因，所以， 所以，故B正确； 因为，所以， 因为4为的一个周期，所以， 则，所以，故C错误； 因为，所以，， 又因为，所以， 所以函数为偶函数， 令，得， 令，定义域为关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 所以函数得交点关于轴对称， 所以函数的所有零点之和为0，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，，则（3）__. 【答案】. 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可. 【详解】解：设幂函数为常数）， 幂函数的图象过点，， ，， ， （3）， 故答案为：. 13. 有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有________.（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】由命题真假性的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于①,因为偶数2是素数，故①错误； 对于②，因为无理数的立方是有理数2，故②错误； 对于③，因为无理数的平方是无理数，故③正确； 对于④,设，则除以4的余数是2， 设，则除以4的余数是1，故④错误. 故答案为：③. 14. 用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数 有两个不同的零点，若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】函数 有两个不同的零点即函数与函数的图象有两个不同交点，分类讨论数形结合可得结果. 【详解】函数 有两个不同的零点， 即函数与函数的图象有两个不同交点， 当时，显然有唯一的交点，不适合题意； 当时，画出二者图象，显然不符合； 当时，画出二者图象； 先考虑二者相切时，设切点为， 则有，可得， 即，即， 记，显然此函数为增函数，且，说明， 所以当两个函数有两个交点时，一个交点的横坐标必小于1，又， 另一个交点的横坐标，根据上面的图象可得， ，解得，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 16. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 【答案】（1） （2） 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 【解析】 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【小问1详解】 由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． 【小问2详解】 显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 17. 已知函数,． （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）证明：对于任意两个正数、，． 【答案】（1）； （2） 要证明成立， 即证明， 一方面，， ，则，即，① 另一方面，不妨设，再设， 则，可得， 当时，，此时单调递减， ，即，② 综合①②可得，． 【解析】 【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，由已知条件可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）利用分析法可知所证不等式等价于，利用作差法可证得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可证得，再利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 解：由，得，则， 又，曲线在处的切线的方程为， 即，由题意得，解得. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 18. 已知函数． （1）证明：有唯一的极值点； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域为， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 又，取，且， 显然，因此存在唯一，使得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，取得极小值，无极大值， 所以有唯一极值点. （2） . 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用零点存在性定理及极值的意义推理即得. （2）利用（1）中的极小值不小于0，再探讨极小值点的取值范围即可求出的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，即， 依题意，，将代入整理得，， 设，求导得， 于是函数在上单调递减，又，则，解得， 因此，解得， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同. 19. 含有未知函数的等式称为函数方程.其实，函数方程我们并不陌生，在函数的奇偶性和周期性中，已经蕴含了函数方程的思想. （1）已知函数在上有定义，对任何实数和任何实数，都有. （i）若，求的值； （ii）证明：，其中和均为常数； （2）一般的，设是上的连续（图象没有间断点）函数，且对一切的，均有，称该函数方程为柯西函数方程.柯西对这一类函数方程进行了深入研究，得到了该函数方程的解为，其中.利用上述知识，解决下面的问题：已知定义在上的连续函数满足，都有恒成立，且，求. 【答案】（1）（i）0； （ii）令，因为，所以，则， 假设当时，，则， 而，所以，即成立； 令，因为，所以，， 假设当时，，则， 而，所以，即成立； 由（i）知，. 综上所述，成立． （2） 【解析】 【分析】（1）（i）令，代入数值计算即可； （ii）结合题设，分别证明当和时成立即可； （2）设，结合题设可得，满足柯西函数方程，进而得到，其中，可得，再结合即可求得，进而得到答案. 【小问1详解】 （i）由题意，对任何实数和任何实数，都有， 令，得， 由于，则. （ii）略 【小问2详解】 由，设， 则 ， 满足柯西函数方程，则，其中， 所以，即， 因为，所以，即， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡水市第二中学高三年级一调考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 关于函数的性质，下列说法中错误的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 方程有且只有一个实根 D. 函数的图象不是中心对称图形 7. 已知，则x､y､z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）； 命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立； 命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0. 则下列说法正确的是（ ） A. 只有q1是p的充分条件 B. 只有q2是p的充分条件 C. q1，q2都是p的充分条件 D. q1，q2都不是p的充分条件 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为复数，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为1 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 4为的一个周期 B. C. 由可知， D. 函数的所有零点之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，，则（3）__. 13. 有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有________.（填序号） 14. 用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数 有两个不同的零点，若，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 16. 设函数，． （1）若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数． 17. 已知函数,． （1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）证明：对于任意两个正数、，． 18. 已知函数． （1）证明：有唯一的极值点； （2）若，求的取值范围． 19. 含有未知函数的等式称为函数方程.其实，函数方程我们并不陌生，在函数的奇偶性和周期性中，已经蕴含了函数方程的思想. （1）已知函数在上有定义，对任何实数和任何实数，都有. （i）若，求的值； （ii）证明：，其中和均为常数； （2）一般的，设是上的连续（图象没有间断点）函数，且对一切的，均有，称该函数方程为柯西函数方程.柯西对这一类函数方程进行了深入研究，得到了该函数方程的解为，其中.利用上述知识，解决下面的问题：已知定义在上的连续函数满足，都有恒成立，且，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $