精品解析：云南省开远市第一中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二年级下学期期中考试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法及共轭复数即可求解. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选:A. 3. 已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若过点有两条直线与圆相切，可知点在圆外，即可得的取值范围，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断. 【详解】若过点有两条直线与圆相切， 可知点在圆外，则，解得或， 显然是的真子集， 所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 双曲线（）的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程设双曲线方程为，整理结合题中方程对比即可得结果. 【详解】由渐近线方程为可设双曲线方程为，即， 结合题意可知，解得. 故选：C. 5. 设，则，，，的极差是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，从而有，再利用极差的定义即可求出结果. 【详解】因为，得到， 又应用诱导公式五和诱导公式六， 对应的4个数据分别为：， 所以极差为：， 故选：A. 6. 记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ） A. 70 B. 65 C. 55 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量与性质求解公差，从而可得通项公式，再由等差数列的前项和公式求解. 【详解】由等差数列，设，为公差， 由于，则，化简得， 由于数列单调递增，因此，解出，因此，则. 故选：B. 7. 已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简即可得对称中心. 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称. 故选：C 8. 已知A，B是抛物线C：上关于x轴对称的两点，D是抛物线C的准线与x轴的交点，若直线与抛物线C的另一个交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立求出点的坐标可得点坐标，再由直线方程两点式可得答案. 【详解】因为直线所在的直线方程就是直线所在的直线方程， 而点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立方程，可得点的坐标为， 所以点的坐标为， 所以直线的方程为， 即． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值. 【详解】因为，所以， 解得或0或． 故选：ABC 10. 四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 四棱锥的体积为2 C. 在中，当时， D. 四棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断A，根据锥体体积公式判断B，由条件确定点的位置，结合锥体体积公式，判断C，确定四棱锥的外接球的半径，结合球的表面积公式判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面， 点不在直线上， 所以直线与直线为异面直线，A正确； 对于B，因为，，平面，， 所以平面， 又，，四边形为正方形， 所以四棱锥的高，底面面积为， 所以四棱锥的体积，B错误， 对于C，因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形，又， 所以，又，，， 所以，所以，所以， 所以点到平面的距离为， 所以，C正确， 对于D，因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故为直角三角形， 同理可证为直角三角形， 取的中点，则， 所以四棱锥的外接球的外接球的球心为， 所以四棱锥的外接球的半径为， 所以四棱锥的外接球得表面积，D正确， 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上是增函数 B. 的极大值点为， C. 有唯一的零点 D. 的图象与直线相切的点的横坐标为， 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数求出单调性即可得其极值点，即可得A、B；结合函数单调性与零点存在性定理，分，、及进行讨论即可得C；借助导数的几何意义计算即可得D. 【详解】对A、B：， 则当，即时，， 当时，， 即在上单调递减， 在上单调递增，故A错误； 的极大值点为，，故B正确； 对C：令， 即，由， 当时，， 当时，由，故， 由在上单调递增， 取，有在上单调递增， 又，故在上必有一零点， 由在上单调递减， 取，即在上单调递减， 则在上没有零点， 综上所述，有唯一的零点，故C正确； 对D：设切点坐标为， 则有， 由切线方程为，则有，即， 化简得，即， 即有，，则，，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题中C选项关键点在于结合函数单调性与零点存在性定理，分，、及进行讨论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 13. 若实数，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 14. 对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而得，即，由累乘法即可求得的值. 【详解】解：由数列的二阶商数列的各项均为，可知， 而， 故数列是以1为首项，为公比的等比数列， 即， 即， 即． 所以， 故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解． 【小问1详解】 依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 16. 某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图： （1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？ 玩过网游 没玩过网游 总计 男生 女生 总计 （2）视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求和. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 【答案】（1）大学生喜欢玩网游与性别无关 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）由题意分析可知：，结合二项分布运算求解. 【小问1详解】 由题意可得列联表： 玩过网游 没玩过网游 总计 男生 22 12 34 女生 8 8 16 总计 30 20 50 零假设：大学生喜欢玩网游与性别无关， 则， 根据的独立性检验可知：假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关. 【小问2详解】 用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为， 由题意可知：玩过网游的人数， 所以，. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面； （2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由于是等边三角形，为的中点． 故是等边的中线，则， 又因为平面，平面内，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为是的中点，可知是三角形的中位线，故∥. 因平面，∥， 所以平面，即三线两两垂直. 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由，，，， 则， 可得，，， 则，． 设平面的法向量为，则， 令，则，，故． 由题意可知：平面的一个法向量为. 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数，定义域为. （1）讨论的单调性； （2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围. 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和，根据二次方程根的个数以及韦达定理分析判断的符号，进而可得的单调性； （2）参变分离可得，构建，求导，利用导数判断的单调性，进而可得结果. 【小问1详解】 因为， （ⅰ）当，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递增； （ⅱ）当，即或时，可知有两个不相等的根， 不妨令，可知， ①若，因为，可知， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②若，因为，可知， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. 【小问2详解】 若，可知在内无零点，不合题意，可知 令，整理得， 构建， 原题意等价于与的图象有且仅有一个交点， 因为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，即在内恒成立， 可知在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0且； 的大致图象如图所示， 可得，即，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 19. 已知椭圆的右顶点A和上顶点为B关于直线对称． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P，Q为椭圆C上两个动点，直线，的斜率之积为，，D为垂足，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，求解可得椭圆的标准方程； （2）设，，由题意得直线斜率不为零，设，与椭圆联立方程组，结合已知可得，可求得直线过点，D在以为直径的圆上，从而可求的最小值. 【小问1详解】 由点和关于直线对称， 由直线的斜率为，可得直线的斜率为，有①， 又由线段的中点在直线上，有②， 联立方程①②解得，， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设，，由题意得直线斜率不为零，设， 由，得，即， 所以，且 故, 由，得，即， 所以， 所以， 所以，化简得， 所以或， 若，则直线过椭圆的右顶点，不符合题意，所以， 所以过定点，因为，D为垂足， 所以D在以为直径的圆上，，的中点为，又， 所以． 所以的最小值为， 即的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题是圆锥曲线过定点问题，属于难题，解决问题的关键点有两个，一是过定点问题不是显性的，比较隐晦，识别出来有困难，第二在由斜率的乘积是常数进行化简整理的过程中，计算直线过定点难度比较大，容易形成畏难心理导致计算失败. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级下学期期中考试卷 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 双曲线（）的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5. 设，则，，，的极差是（ ） A. B. C. D. 6. 记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ） A. 70 B. 65 C. 55 D. 50 7. 已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B是抛物线C：上关于x轴对称的两点，D是抛物线C的准线与x轴的交点，若直线与抛物线C的另一个交点为，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若，则实数m的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 四棱锥的体积为2 C. 在中，当时， D. 四棱锥的外接球表面积为 11. 已知函数，则（ ） A. 在上是增函数 B. 极大值点为， C. 有唯一的零点 D. 的图象与直线相切的点的横坐标为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 若实数，且，则的最小值为______. 14. 对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求A； （2）若，且的周长为5，设为边中点，求． 16. 某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图： （1）完成下面列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？ 玩过网游 没玩过网游 总计 男生 女生 总计 （2）视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求和. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知函数，定义域为. （1）讨论的单调性； （2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围. 19. 已知椭圆的右顶点A和上顶点为B关于直线对称． （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P，Q为椭圆C上两个动点，直线，的斜率之积为，，D为垂足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$