第5章 4 培优专题4：圆心角、弧、弦之间关系的应用&培优专题5：圆周角定理及其推论的综合应用-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

培优专题4：圆心角、 应用一：利用圆心角、弧、弦之间关系求角的度数 1.(青岛中考)如图，点A,B,C,D在⊙O上， ∠AOC=140°，点B是AC的中点，则∠D的 度数是( ) A.70° B.55 C.35.5°D.35° B 第1题图 第2题图 2.如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥ AB,若弧DE的度数为40°，则∠BOC=( A.110° B.80° C.40 D.70° 3.如图，已知BD是⊙O的直径， 0 点A,C在⊙O上，AB=BC, ∠AOB=60°，则∠COD的度数 是 度 4.[一题多辨](1)如图①，在⊙O中，AB=AC ∠A=40°，则∠B= ① ② (2)如图②，已知AB是⊙O的直径，PA= PB,∠P=60°，则CD所对的圆心角等 于 应用二：利用圆心角、弧、弦之间关系求弧的度数 5.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=26°， 以点C为圆心，BC为半径 的圆分别交AB,AC于点 D,E,则BD的度数为() A.26° B.64° C.52 D.128° 第五章圆√ 弧、弦之间关系的应用 6.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次 后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数 是() 运算 B D A.120° B.135° C.1509 D.165° 应用三：利用圆心角、弧、弦之间关系求线段的 长度 7.(咸宁中考)如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB,CD所对 的圆心角分别是∠AOB, 推理 ∠COD,若∠AOB与∠COD 能力 互补，弦CD=6,则弦AB的长为( A.6 B.8 C.52 D.5 应用四：利用圆心角、弧、弦之间关系解决最值 问题 8.[模型观念]如图所示，点A是半圆上的一个 三等分点，MA>AN,点B是AN的中点，点 P是直径MN上一动点，若⊙O的半径为1， 识 问P在直线MN上的什么位置时，AP+BP 的值最小？求出AP十BP的最小值 做神龙题得好成绩 17 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 梦 华 培优专题5：圆周角定 养 应用一：求角的度数 1.(泰安中考)如图，点A,B,C是⊙O上的三 点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC 抽象能力 交⊙O于点F,则∠BAF等于() A.12.5° B.15° C.20° D.22.5° 运算能力 B 几何直观· 空间观念 第1题图 第2题图 2.如图，AB是⊙O的直径，C,D,E在⊙O上， 推理 若∠AED=20°，则∠BCD的度数为() A.100° B.110° C.1159 D.120° 3.（无锡中考)如图，点A,B,C都在⊙O上，QC 数据观念 OB,点A在劣弧BC上，且OA=AB,则 ∠ABC= 模型观念·应用意识 ·创新 第3题图 第4题图 意识 4.(株洲中考)如图所示，AB为⊙O的直径，点 C在⊙O上，且OC⊥AB,过点C的弦CD与 线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°，连接 AD,则∠BAD= 应用二：求线段的长度 5.（黄冈中考)如图，在⊙O中，AB为⊙O的直 径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB,若 AD=6,则AC= 18 做神龙题得好成绩 理及其推论的综合应用 6.(东营中考)如图，AC是⊙O的弦，AC=5,点 B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，若 点M,N分别是AC,BC的中点，则MN的 最大值是 应用三：求三角函数值 7.[几何直观]如图，在边长为1的小正方形网 格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正 弦值是( A.2 B C15 5 第7题图 第8题图 8.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点H,点M是CBD上任意一点.若AH= 2,CH=4,则sin∠CMD= 应用四：求比值 9.如图，在⊙O中，CD为直径，A为圆上一点， 连接OA,作OB平分∠AOC交圆于点B,连 接BD,分别与AC,AO交于点N,M.若 AM=AN,则B的值为 视频讲解 0∠OKP=90°，∴△KOP是等腰直角三角形，PK= 4圆周角和圆心角的关系 OP-1.CK-FK-PC-CK+PK-+ 第1课时圆周角和圆心角、弧的关系 1.B2.D3.C4.B5.110°6.D 两个正方形的面积之和为16，.x2+(x十2)2=16，.x 7.D[解析]∠APQ=115°，∴.∠APQ对应优弧ABQ, =√7-1或x=-√7-1（舍去），∴.PC=x十2=√7+1， .优弧ABQ所对圆心角为230°，则劣弧APQ所对应圆心 PH=x=√7-1，.PD=√2PC=√I4+√2，PG=√2PH 角∠AOQ=130°.：C,D为AB的三等分点，∴.∠AOD= 120°，故点Q应位于DB上. =√14-√2，∴.DG=PD+PG=2√14. 8.909.D10.A11.30 12.C[解析]如图，连接OA,OD.AC=BD,.AC=BD, AD=BC,∠ABD=∠BAC,.AE=BE.AC⊥ BD,AE=BE,∴.∠ABE=∠BAE=45°，.∠AOD= 2∠ABE=90°.OA=OD,AD=√2r.AD=2√2， E .r=2. 7.A[解析]如图，连接OD.:CD⊥OC交⊙O于点D, ∴△OCD是直角三角形.根据勾股定理得CD= √OD2-OC.半径OD是定值，当OC⊥AB时，线段OC 最小，此时D与B重合，CD=√OB2-OC.,OC⊥AB, AC--AB.CD-/0B- 13.60或120 14.(1)证明：连接OD.AB是⊙O的直径，AB⊥CD,BC ，即线段CD的最大值是 1 2 =BD,∴∠COB=∠D0B=3∠COD.又：∠CPD= 合∠c0D,÷∠CPD=∠00B. (2)解：∠CP'D与 ∠COB的数量关系是∠CP'D十∠COB=180°.证明如 下：CPD与CD的度数之和为360°，∴∠CP'D+ D 1 ∠CPD=2×360°=180.∠CPD=∠C0B, 8.C[解析]对于直线y=kx十2k一4，当x=一2时，y= ∴.∠CP'D+∠COB=180°. 一4，故直线y=kx+2k一4恒经过点(-2，一4)，记为点 第2课时圆周角和直径的关系 D.连接OB,OD,如图.由于过圆内定点D的所有弦中，与 1.C2.25°3.(1)B(2)C4.C5.示例：306.2 OD垂直的弦最短，即当DB⊥OD时，BC最短.D(一2， 7.C8.B9.B10.A -4),∴.0D=√22+4=2√5.⊙0经过点(0,10)， 11.D[解析]如图，延长CA交⊙O于点D,连接BC,BD. CD为直径，∴∠CBD=90°.∠CAB=90°，∴.∠D= ∴.0B=10,.BD=√OB2-OD=√102-(2√5)2= ∠CBA,∴.Rt△ABC∽Rt△ADB,∴.AB:AD=AC: 45.,DB⊥OD,.BC=2BD=8√5，∴.弦BC的最小值 是8√5. AB,即3：AD=5:3,AD=号cm,CD=5+号 cm)⊙0的半径长为17。 34 5 cm. 12.C[解析]由题意可得AB=4.,△ABC是等边三角形， 培优专题5：圆周角定理及其推论的综合应用 ∠BAC=60°.AB是⊙O的直径，∠APB=90°， 1.B2.B3.15 ∠ABP=30,AP=7AB=2.在R△APB中，AB 4.20[解析]连接BC,OC⊥AB,.∠COB=90°..OB= =4,AP=2,∴.PB=√AB2-AP=√/42-22=2√5， OC,.∠OBC=45°.，∠AEC=65°，.∠BCD=65°-45° =20°，.∠BAD=∠BCD=20°. 以BP为半径作弧交数轴于点Q,.BQ=PB=2√3， .点Q表示的数为2-23. 5.2√3 13.解：(1)连接AD.,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°. [解析]点M,N分别是AC,BC的中点，∴.MN= 又知AB=AC,根据等腰三角形“三线合一”的性质，得 1 ∠DAC=7∠BAC=7X45=2.5,∴∠EBC AB,一当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB ∠DAC=22.5°.(2)由等腰三角形“三线合一”的性质， 是直径时，AB最大.连接AO并延长交⊙O于点B',连接 得BD=DC.,AB是⊙O的直径，.∠AEB=90°， CB.,AB是⊙O的直径，∴∠ACB'=90°.∠ABC= ∠BC=90ED=2BC=2×6=3. 45°，.∠AB′C=45°，.AB′=√2AC=5√2， 14.(1)证明：：点A,O,B在⊙P上，且∠AOB=90°，∴.AB MN大值=5Y2 21 为⊙P的直径，即P为线段AB的中点.(2)解：，P为 7.C y-2(x>0)上的点，设点P的坐标为(m,m),则m [解析]连接OC.,AB⊥CD,∠CHO=90°.在 12.如图，过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点 Rt△COH中，CH=4,设OC=r,则OH=r-2,∴.r2=42 N,.点M的坐标为(m,0),点N的坐标为(0，n),且OM =m,ON=n.易得M为OA中点，OA=2m,N为OB中 十(r-2)2,.r=5.连接OD.AB⊥CD,AB是直径， 点，OB=2n,.S△A0B= 20A·OB=2mm=24. ∴AD=Ac=2D,∴∠A0c=2∠coD.:∠CMD= z∠COD,∴∠CMD=∠COA,.sin∠CMD=sin∠COA =00=51 0 [解析]：OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠COB,.AB 培优专题4：圆心角、弧、弦之间关系的应用 =BC,.∠ADB=∠BDC.'AN=AM,∴.∠ANM= 1.D2.A3.1204.(1)70°(2)60 ∠AMN.:∠AMN=∠DMO,.∠DMO=∠DNA, 5.C6.C7.B 8.解：如图，作点B关于直线MN的对称点B',则点B必在 ÷△DM0△DNM,÷8-88∠MoD=∠NAD, ⊙O上，且BN=B'N.连接OB,OB',由已知得∠AON= CD是直径，∴∠NAD=90°，∴.∠MOD=90°.，OA= 60°.，点B是AN的中点，∴.∠B'ON=∠BON= 号∠AON=30,∠AOB'=90.连接AB'交MN于点 0D△A0D是等聚直角三角形，小器-言-号 P',则点P即为所求的点.连接BP',此时AP'十BP'= 微 AP'+P'B'=AB'=√2OA=√2，即AP+BP的最小值 1~4节阶段测试 为√2. 1.C2.B3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.D 10.D11.D12.A13.C 14.解：如图，摩天轮每分钟转动360÷18=20°.由题意得AD ⊥PE,AD=88米，AC=100米，CE=PQ=34米，则OP =OD=44米，DC=AC-AD=12米，∴.ED=EC-DC 同行学案学练测·11·