第1章 3.1 不等式的性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 知识点一 用不等式的性质判断命题真假 1．下列结论中成立的是(　　) A．若a＞b，则＞1 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则|a|＞|b| D．若(a－b)a2＜0，则a＜b 答案　D 解析　令a＝1，b＝－1时，A，B，C错误，排除A，B，C.故选D. 2．若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　∵＜＜0，∴a＜0，b＜0，a＞b，故③错误；∵ab＞0，∴a＋b＜0＜ab，故①正确；又0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故②错误；∵＋＝＝＝＋2，且a－b>0，ab＞0，∴＋＞2，故④正确．故选B. 知识点二 用不等式的性质比较大小 3．设a＋b＜0，且a＞0，则(　　) A．a2＜－ab＜b2 B．b2＜－ab＜a2 C．a2＜b2＜－ab D．－ab＜b2＜a2 答案　A 解析　∵a＋b＜0，且a＞0，∴0＜a＜－b，∴a2＜－ab＜b2.故选A. 4．若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＝N B．M＜N C．M≤N D．M＞N 答案　B 解析　∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＞1＋x＞0，1＋x＋y＞1＋y＞0，∴＜，＜，故M＝＝＋＜＋＝N，即M＜N.故选B. 5．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M________N．(填“>”或“<”) 答案　> 解析　∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(a－1)2＋2＞0，∴M＞N. 知识点三 用不等式的性质求范围 6.已知1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2，求10a－5b的取值范围． 解　令10a－5b＝x(2a＋b)＋y(a－2b)＝(2x＋y)a＋(x－2y)b， 则解得 ∴10a－5b＝3(2a＋b)＋4(a－2b)． ∵1≤2a＋b≤4，－1≤a－2b≤2， ∴3≤3(2a＋b)≤12，－4≤4(a－2b)≤8， ∴－1≤3(2a＋b)＋4(a－2b)≤20， 即－1≤10a－5b≤20， 故10a－5b的取值范围为[－1,20]. 知识点四 用不等式的性质证明不等式 7．已知a>b>0,0>c>d，求证：ad<bc. 证明　∵a>b，c<0，∴ac<bc， ∵c>d，a>0，∴ac>ad，∴ad<bc. 8．(1)已知a＜b＜0，求证：＜； (2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0. 证明　(1)证法一：∵a<b<0， ∴－a>－b>0， ∴0<－<－，　① ∵0<－b<－a，　② ∴①②相乘，得<. 证法二：－＝＝， ∵a＜b＜0， ∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0， ∴＜0，故＜. (2)∵＜，∴－＜0，即＜0， 又a＞b，∴b－a＜0， ∴ab＞0. 易错点 运用性质运算时忽略同向不等式不能相除 9.已知12＜a＜60,15＜b＜36，求的取值范围． [易错分析]　本题易直接使用同向不等式相除得到＜＜致错，求指定代数式的取值范围必须根据不等式的性质求解． 正解　∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4. 一、选择题 1．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞b C．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b 答案　C 解析　因为a＋b＞0，b＜0，所以a＞－b＝|b|＞0，所以必有a＞－b＞b＞－a.故选C. 2．下列命题中，正确的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若－2＜a＜3,1＜b＜2，则－3＜a－b＜1 C．若a＞b＞0，m＞0，则＜ D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 答案　C 解析　对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故错误；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故错误；对于C，因为a＞b＞0，m＞0，所以＜，从而＜，故正确；对于D，当a＝c＝0，b＝d＝－1时不成立，故错误．故选C. 3．已知a，b，c，d∈R且ab＞0，－＜－，则(　　) A．bc＜ad B．bc＞ad C．＞ D．＜ 答案　B 解析　∵ab＞0，－＜－，∴－bc＜－ad，∴bc＞ad. 4．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　) A．a>> B．>>a C．>a> D．>>a 答案　D 解析　由题意知>0，b2>1，∴0<<1，又a<0，∴a<<0，∴>>a. 5．[多选]下列结论正确的是(　　) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则a2＞ab C．若a＞b＞0，则ab＞b2 D．若|a|＞|b|，则a2＞b2 答案　ACD 解析　对于A，若ac2>bc2，则a>b，故A正确；对于B，当0>a＞b时，a2＞ab不成立，故B错误；对于C，由于a＞b＞0，则ab＞b2，故C正确；对于D，由于|a|＞|b|，则a2＞b2，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．设a≥0，若P＝＋，Q＝＋，则P________Q．(填“＞”“＜”或“＝”) 答案　＜ 解析　由题意，知P＞0，Q＞0，则P2－Q2＝(＋)2－(＋)2＝[2a＋6＋2]－[2a＋6＋2]＝2(－)＜0，所以P＜Q. 7．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－3y的取值范围为________． 答案　[－6,9] 解析　设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，∴⇒∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9. 8．给出下列命题： ①若ab>0，bc－ad>0，则－>0； ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0； ③若bc－ad>0，－>0，则ab>0. 其中正确命题的序号是________． 答案　①②③ 解析　①若ab>0，bc－ad>0，则>0，即－>0，所以①正确；②若ab>0，－>0，则ab>0，即bc－ad>0，所以②正确；③若－>0，即>0，又因为bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确． 三、解答题 9．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，求证：＞. 证明　∵a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y， ∴>>0， ∴<，则＋1<＋1， 即0<<， ∴>. 10．已知m∈R，a＞b＞1，试比较与的大小． 解　∵－＝·. 又a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0. ∴当m＞0时，·＜0， 即＜； 当m＝0时，＝； 当m＜0时，·＞0， 即＞. 学科网（北京）股份有限公司 $$