第22章 相似形 章末总结&综合实践 制作视力表（同步训练）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（沪科版 安徽专用）

重点题型专题9相似三角形中 比例式和等积式的证明 1证明：AB=AC,BD=CD,AD⊥BC. CE⊥AB,∴∠BEC=∠BDA=90. :∠B=∠B,∴△BCEC∽△BAD, 既5BD,BC-BE·BA 2.证明：：AB=AD,∠ADB=∠ABD. '∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠ABD ∠BAE=∠CAB,△EAB∽△BAC, 船福提品 AB AC AB-AD,AE-AD' 3.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∠B=∠D AE⊥BC,AF⊥CD,∴.∠AEB=∠AFD=90°， ∴.△ABEn△ADF. (2)△ABE△ADF, 8渠想架 ,四边形ABCD是平行四边形， AD-BC.AB/CD.AB-CD. AB∥CD,.∠BAF=∠AFD=90°， ∴.∠EAF+∠BAE=90°， :∠AEB=90°，∴.∠B+∠BAE=90°， ∠B=∠EAF,∴.△AEF∽△BAC, .AE_EF AB AC AE EF AB=CDCD-AC' 即CD·EF=AC·AE. 4.证明：(1)，∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠CFD, ∠E=∠C. :∠ADE=∠ABC,.△ADE△ABC, 把怨…品 @AB=APAC话-Ae ∠FAB=∠BAC, △MFBO△ABC.8- BC AB AD,BF AD 由(1)知，AC-AE心BCAE ∴.AD·BC=AE·BF, 22.4图形的位似变换 第1课时位似图形 1.D2.A3.C【变式】1：3194.C 5.解：如图，四边形A'B'CD'即为所求.（答案不唯 一) 6.D7.88.5或15 第2课时平面直角坐标系中图形的位似变换 1.A2.D 3.02124.-D3(←-2) 4解：(1)如图，△A,B,C即为所求。 (2)如图，△AzB,C即为所求，点C的坐标为（一6,6）. 5.B6.(3,2) 7.1,0速（日、 3 22.5综合与实践 测量与误差 1.B2.A3.5.54.18.25.10m6.9.6米 章末复习 ①相等②成比例 ③ad=bc 0g-中 d ⑤2十a:十…十a b1+b,十…+b ⑥相等⑦夹角⑧成比例 ⑨相似比①相似比①相似比的平方②位似中心 ⑧相似比 1.D2.(1)12(2)223.9.274.12 5解：1号 130. （2②)解法1：设后-号-号=6，则工=6y=4 3k, :T-y+2:_6k-4k+6k4 6k 3 、x一y2z 6将-看2+6 6 31 6.D7.A 8解：0号 4 4 (2)05②5 (3)证明：证法1：，DE∥BC,MN∥BC, .DE∥MN, ,∴.△BDE∽△BAN,△CDE∽△CMA, 照 DE/c职票S-器AM-AN 证法2：由题意，得MN∥DE∥BC, ÷02能△AMDO△CD,△MNE∽△CBE, ÷品208铝-AN 9解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠B=∠C=90°，∴.∠BAE+∠BEA=90. EF⊥AE,.∠AEF=90°， ∴·∠BEA+∠CEF=90°， ∴.∠BAE=∠CEF,∴.△ABE△ECF AB BE (2)证明：由(I),知△ABE∽△ECF,心EC一CF, ,四边形ABCD是正方形，.BC=AB=4 ”E是BC的中点，∴BE=EC=2, 登品cF=1. 在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=25, 在Rt△ECF中，EF=√EC+CFT=√5， 福器 又：∠AEF=∠B=90°，∴.△AEF∽△ABE. (3)①证明：EF⊥AE,CG⊥AC, ∴.∠AEF=∠ACG=90°. ∠AOE=∠GOC,∴.∠EAC=∠FGC. 又四边形ABCD是正方形， .∠ACE=∠ACF=45°， ∴.∠GCF=45°，∴.∠ACE=∠GCF, ∴.△AECc∽△GFC. 10.解：(1)△OB'C如图所示 (2)B'(-6,2),C'(-4,-2). (3)M'(-2x,-2y. 11.2712.3613.D14.15 综合实践 制作视力表 解【任务吃会理由如下： P1D1∥PD,△PD,On△P,D,O, PD_D0即= DD,0即方 【任务2】25cm 【任务3】由题意，得A'B'∥MN,CE⊥MN, △CMN∽△CA'B',CE=AB CD MN 由题意，得CE=5m,DE=3m,A'B'=AB=0.8m, 2 MN CD=2m,写=0g∴MN=0.32m, .镜长(MN)至少为0.32m. 第23章解直角三角形 23.1锐角的三角函数 1锐角的三角函数 第1课时正切 1.D【变式号2.D【变式】 5 3 3.c4.85. 697A8359B10A11g12号 13.1 16.号 (2)2(3)1 31·章末复习 44知识体系构建， 相似多边形 两个边数相同的多边形，对应角① 对应边② 定义 基本性质： 号-台种③ (b.d≠0） 比例的性质 合比性质：如果号气，那么④ (b.d≠0) 比例线段 等比性质： 如果会费=一爱，且6+h+h0, 那么5 平行线分线段成比例 黄金分翻（黄金数为号） 两角分别6 相 两边成比例且⑦ 相等 判定定理 三边8 形 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边 特例 相似 三角形 和一条直角边对应成比例 对应线段（高、中线，角平分线）的比等于⑨ 性质定理 周长比等于10 面积比等于 每组对应点的连线所在的直线经过D 位似图形 特殊 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于3 位置图形的 位似 画位似图形 平面直角坐标系中的位似变换一(a,b 以原点为位似中心a灿)或(-a,-协） k为相似比 相似三角形的应用 4高频考点精练。 考点1比例线段 约等于0.618) 1.(2025·安庆四中期中)下列各组中的四条线段成 D 比例的是 ( A.1,1,2,3 B.3,6,4,7 C.5,6,7,8 D.2,3,6,9 F C 2.已知线段a=2,b=4,c=6. 第3题图 第4题图 (1)若a,b,c,d是成比例线段，则d= 4.(2025·合思四十二期中)如图，已知直线a∥b∥c, (2)若线段x是a和b的比例中项，则x= 直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n 3.如图，一片枫叶也蕴含着黄金分割，其中B为 分别交直线a,6c于点DE,R若分把-号. AC的黄金分割点(AB>BC).若AC的长度为 15cm,则AB的长度约为 cm.(黄金数 DF=21,则EF= 72一本·HK版初中数学9年级上册 5.已知=￥=(xy,均不为零). (2)如图2，连接BE,CD交于点O. 643 S△DoE SAADE a)+y= SABOC ; S△BCE y (2【-题多解求一y+2的值。 图1 图2 (3)【一题多解】如图3，过点A作MN∥BC交 CD的延长线于点M,交BE的延长线于点N. 求证：AM=AN. 考点2相似三角形的判定和性质 6.(2025·安庆期末)如图，D是△ABC内一点，点 E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点 O,分别连接AD,AE.CE,若0-侣-BC 则下列结论一定正确的是 9.【一题多问】如图1，在正方形ABCD中，E是 边BC上的点，EF⊥AE交CD于点F, A.CE∥AD B.BD=AD AB=4. C.∠ABE=∠CBE D.∠BAD=∠CAE (1)求证：△ABEC∽△ECF. 图1 第6题图 第7题图 7.(2024·阜阳太和二模)如图，在△ABC中，BD平 (2)如图2，连接AF,若E是BC的中点，求证： 分∠ABC,DE∥BC交AB于点E.若AB=6, △AEF∽△ABE. BC=4,则DE= ( A.2.4 B.3 C.3.6 D.4.8 8.【一题多问】如图1，在△ABC中，D是AB上 图2 -点，部-号，E是AC上-点，DE/BC (1) DE BC 第22章相似形73 (3)如图3，连接AC交EF于点O,CG⊥AC交 考点4相似三角形的应用 EF的延长线于点G,连接AG交CD于点H. 11.(2024·宜城期末)用杠杆撬石头的示意图如图1 ①求证：△AEC∽△GFC: 所示，当用力向下压杠杆时，杠杆绕着支点转动， ②当E是BC的中点时，求FH的长度. 另一端会向上撬起，石头就被撬动了如图2，杠 杆的一端D被向上撬起的距离BD=9cm,动力 臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB(AB与CD 相交于点O),要把这块石头撬起，至少要将杠杆 图3 的另一端C向下压 cm. 图1 图2 12.如图，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排 大树，每两棵树之间的距离为4m,沿北岸有一 排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80m.一 同学站在距南岸9m的点P处向北岸望去，北 岸相邻的两根电线杆正好被南岸的5棵树遮挡 住，那么这条河流的宽度是 m. 考点3图形的位似 北岸 10.如图，已知O是坐标原点，B,C两点的坐标分 别为(3，一1)，(2,1).以点O为位似中心，在y 南岸 轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍，点B, C的对应点分别为点B',C 44易错二次闯关· (1)画出放大后的△OB'C': (2)分别写出点B,C的对应点B',C的坐标； 13.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,2), (3)如果△OBC的内部有一点M,其坐标为 B(4,1),以原点O为位似中心，相似比为2， (x,y),直接写出点M在△OB'C'的内部的 把△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标 对应点M'的坐标 是 () A.(1,1) B.(4,4)或(8,2) C.(4,4) D.(4,4)或(-4，-4) 10 第13题图 第14题图 14.如图，边长分别为10,6,4的三个正方形拼接 在一起，它们的底边在同一直线上，则阴影部 分的面积为 74一本·HK版初中数学9年级上册 综合实践制作视力表 视力表中蕴含的数学知识 ①P 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次编号①， ②，放在水平桌面上，如图1，将②号“E”沿水平桌面向右 素材1 移动，直至从观测点O看去，对应顶点P:,P:和点O在 条直线上为止这时我们说，在D,处用①号“E”测得 桌而 一 的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同 图1 任务1 探究图中：与之同的关系，并说明理由 11 若b1=1.6cm,b2=1cm,①号“E”的测量距离l1=40cm,要使测得的视力相同，求②号“E”的测量 任务2 距离2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距 离为5m的视力表，但书房空间过小，美美同学都他想 到一个好方法：用平面镜成像的源理来解决房间小的 问题. 如图2，在相距3m的两面塘上分别悬挂视力表(AB)与 平面镜(MN),由平面镜成像原理，作出了光路图，通过 素材2 调整人的位里，使得从视力表AB的上、下边沿点A,B 处发射出的光线经平面镜MN的上、下边沿点M,N处 图2 反射后射入人眼点C处，通过测量视力表的全长(AB) 就可以计算出镜长MN(光路图做法：过点C作CD⊥ MN于点D,CD的延长线交A'B'于点E,使得线段AB 和AB'关于MN对称) 任务3 美美的方法中如果视力表的全长(AB)为0.8m,请计算出镜长(MN)至少为多少米 第22章相似形75