第8章 第2节 第❶课时 圆的方程（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第八章　解析几何 第二节　圆的方程 课标解读 1. 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 必备知识 基础落实 定义 圆是平面上到____的距离等于____的点的集合 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：______ 半径：r 定点 定长 (a，b) 必备知识 基础落实 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心：_____________ 半径：r＝_____________ 必备知识 基础落实 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2__r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2__r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2__r2⇔点在圆内 ＝ > < 必备知识 基础落实 d<r d＝r d>r 必备知识 基础落实 位置关系 方法 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程求方程组解的情况 外离 __________ 无解 外切 _____________ 一组实数解 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 必备知识 基础落实 相交 _________<d<________ 两组不同的实数解 内切 d＝________________ 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 |r1－r2| r1＋r2 |r1－r2|(r1≠r2) 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　 　　) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.(　　 　　) √ √ √ 必备知识 基础落实 (4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　　 　　) (5)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　 　　) (6)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　 　　) × √ × 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（53） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　圆的方程 1．圆的定义及方程 (－，－) 2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识点二　直线与圆、圆与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系(最重要). _____⇔相交；______⇔相切；_____⇔相离． (2)代数法： 2．圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 续表 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示圆，则有： (1)当F＝0时，圆过原点． (2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． (3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． (4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方向和思路，解题时要根据题目特点灵活选择． 1．圆相关切线方程结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). (3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第一册P85 T1改编)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 2．(苏教版选择性必修第一册P52例1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝ B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 3．(湘教版选择性必修第一册P89 T4改编)圆x2＋y2＋8x－16y＋16＝0的圆心坐标和半径是(　　) A．(4，8)，8 B．(－4，8)，10 C．(－4，－8)，64 D．(－4，8)，8 4．(人教B版选择性必修第一册P104 T4改编)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{－1，1} 5．(苏教版选择性必修第一册P61 T1改编)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 6．(苏教版选择性必修第一册P60例3改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A． B．2 C． D．2 7．(苏教版选择性必修第一册P56 T3改编)已知A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是________________． 答案：x2＋y2－x－3y＝0 8．(人教A版选择性必修第一册P98 T1改编)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________． 答案：内切 9．(人教A版选择性必修第一册P98 T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________． 答案：2 第❶课时　圆的方程 考点 求圆的方程(自悟通) 1.已知圆经过点A(4，4)，B(－2，4)，C(4，－4)，则该圆的半径为(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析：有＝(－6，0)，＝(0，－8)，则·＝0，所以⊥，所以∠BAC＝90°，所以该圆的直径为|BC|＝＝10，所以半径为5. 2．请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程：____________． 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一) 解析：设点O与切点连线为圆的直径，则由点O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2，可知半径r＝.若圆心(a，b)在直线y＝x上，且a2＋b2＝2，解得a＝b＝1，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故答案为(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一). 3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为___________________________________． 答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10　 解析：方法一(几何法)　设点C为圆心．因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a).又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即 ＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法二(待定系数法)　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意，得解得 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法三(待定系数法)　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为(－，－). 由题意，得解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0， 即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 求圆的方程的两种方法 (1)几何法，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，求出D，E，F的值． 考点 与圆有关的轨迹问题(精研通) 【例1】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解：(1)方法一(直接法)　设C(x，y). 因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 方法二(定义法)　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0).因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式，得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). ＋y2＝4(y≠0). 方法二(定义法)　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0).因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式，得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，O为坐标原点，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程． 解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，). 因为平行四边形的对角线互相平分，所以线段OP与 MN的中点为同一点，即＝，＝， 整理，得 又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆． 又直线OM与该圆相交于两点(－，)和(－，)，不能作出平行四边形，不符合题意，舍去， 所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点(－，)和(－，). 考点 与圆有关的最值问题(精研通) 命题点1　斜率型、距离型、截距型最值问题 【例2】(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为0 C.x2＋y2的最大值为＋2 D．x＋y的最大值为3＋ 解析：由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如图． 因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以∈[0，]，所以()max＝，()min＝0，故A，B正确．x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2的最大值为(|OC|＋1)2.又|OC|＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，故C错误．因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，则x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋)，所以当θ＝时，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取最大值，最大值为3＋，故D正确． ，所以x2＋y2的最大值为6＋2，故C错误．因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，则x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋)，所以当θ＝时，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取最大值，最大值为3＋，故D正确． 与圆最值问题有关的三种几何转化法 (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． 命题点2　利用对称性求最值 【例3】已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________． 答案：2　 解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，则圆心C(2，1)，半径r＝.设A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B(a，b)，则∴a＝－4，b＝－2，∴B(－4，－2)，∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝－＝2. 形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点： (1)减少动点的个数； (2)“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2. (2)由题可知表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. ∵直线MQ与圆C有交点， ∴≤2，得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. ∵直线MQ与圆C有交点， ∴≤2，得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. $$