第8章 第7节 第❶课时 最值问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第八章　解析几何 第七节　圆锥曲线的综合问题 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（59） 温馨提示 谢谢观看！ 第❶课时　最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求最值问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值问题． 考点 最值问题(精研通) 命题点1　几何法求最值问题 【例1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为. (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 解：(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4. 当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4. 由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，得＋＝1，解得b2＝12. 所以C的方程为＋＝1. (2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4). 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简得16y2＋12my＋3m2－48＝0， 所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8， 与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8， 点N到直线AM的距离即为两平行线之间的距离，即d＝＝. 由两点之间的距离公式得|AM|＝＝3. 故△AMN的面积的最大值为×3×＝18. ＝. 由两点之间的距离公式得|AM|＝＝3. 故△AMN的面积的最大值为×3×＝18. 几何法求解最值的策略 根据已知的几何量之间的相互关系或几何特征，把最值问题转化为某几何元素的临界位置问题(如求直线斜率的最值、距离的最值、三角形面积的最值等). 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋m(m>0)与抛物线C交于不同的两点M，N. (1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值； (2)若m＝2，求|MF|·|NF|的最小值． 解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 对y＝求导，得y′＝， 故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和. 又切线互相垂直，∴·＝－1，即x1x2＝－4. 把y＝kx＋m代入C的方程，得x2－4kx－4m＝0. 则x1x2＝－4m，故m＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 由抛物线定义可知|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1. 由(1)和m＝2，知x1x2＝－8，x1＋x2＝4k， ∴|MF|·|NF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋3)·(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9， ∴当k＝0时，|MF|·|NF|取得最小值，且最小值为9. 命题点2　代数法求最值问题 【例2】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，|PF1|，|PF2|的最小值分别为m1，m2，且满足m1m2＝3a2. (1)求双曲线的离心率； (2)若a＝2，过点F1的直线交双曲线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O)，求的最小值． 解：(1)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0).由双曲线的性质知m1＝c＋a，m2＝c－a，∴m1m2＝c2－a2＝3a2，∴c＝2a，故双曲线的离心率e＝＝2. (2)当a＝2时，c＝4，b2＝c2－a2＝12.∴双曲线的方程为－＝1，F1(－4，0). 由题知直线AB的斜率存在，设为k，则k≠±，直线AB的方程为y＝k(x＋4). 联立消去y，得(3－k2)x2－8k2x－16k2－12＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝ ＝. 又y1＋y2＝k(x1＋4)＋k(x2＋4)＝k(x1＋x2)＋8k＝k×＋8k＝， ∴线段AB的中点的坐标为(，)， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－(x－).令x＝0，得y＝， ∴点D的坐标为(0，)，∴|OD|＝， ∴＝＝ ＝(|k|＋)≥， 当且仅当|k|＝1，即k＝±1时等号成立， ∴的最小值为. ＝. 又y1＋y2＝k(x1＋4)＋k(x2＋4)＝k(x1＋x2)＋8k＝k×＋8k＝， ∴线段AB的中点的坐标为(，)， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－(x－).令x＝0，得y＝， ∴点D的坐标为(0，)，∴|OD|＝， ∴＝＝ ＝(|k|＋)≥， 当且仅当|k|＝1，即k＝±1时等号成立， ∴的最小值为. ＝0，得y＝， ∴点D的坐标为(0，)，∴|OD|＝， ∴＝＝ ＝(|k|＋)≥， 当且仅当|k|＝1，即k＝±1时等号成立， ∴的最小值为. 当且仅当|k|＝1，即k＝±1时等号成立， ∴的最小值为. 代数法求解最值问题的策略 把要求的最值问题(几何量或代数表达式)表示成某个(些)变量的函数，然后利用基本不等式或函数的单调性求解，有时也借助导数求最值． 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程． 解：(1)∵椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是4， ∴＝4，∴c＝2. 又离心率e＝＝，∴a＝2，则b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝4. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立得(1＋3k2)x2＋12kx＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝0，∴|AB|＝·|x2－x1|＝.令t＝1＋3k2(t≥1)， 得|AB|2＝(1＋k2)×＝16(－＋＋1)(t≥1)， ∴当＝，即t＝4时，|AB|2＝16(－＋＋1)(t≥1)取得最大值， 即当k＝±1时，|AB|2最大为18，即|AB|最大为3. ∴当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. B(x2，y2). 联立得(1＋3k2)x2＋12kx＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝0，∴|AB|＝·|x2－x1|＝.令t＝1＋3k2(t≥1)， 得|AB|2＝(1＋k2)×＝16(－＋＋1)(t≥1)， ∴当＝，即t＝4时，|AB|2＝16(－＋＋1)(t≥1)取得最大值， 即当k＝±1时，|AB|2最大为18，即|AB|最大为3. ∴当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. ∴当＝，即t＝4时，|AB|2＝16(－＋＋1)(t≥1)取得最大值， 即当k＝±1时，|AB|2最大为18，即|AB|最大为3. ∴当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. $$