第8章 第7节 第❸课时 定点问题（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第八章　解析几何 第七节　圆锥曲线的综合问题 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：分级练（61） 温馨提示 谢谢观看！ 第❸课时　定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，是高考重要的考点和热点之一．其实质是当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点转动． 考点 定点问题(精研通) 【例】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过点M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． (1)解：设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1.因为椭圆E过A(0，－2)，B(，－1)两点， 则解得m＝，n＝，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：因为A(0，－2)，B(，－1)，所以直线AB的方程为y＋2＝x. ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，则直线方程为x＝1.不妨设点M在第四象限，则将x＝1代入＋＝1，可得M(1，－)，N(1，)，将y＝－代入AB的方程y＝x－2，可得T(3－，－)，由＝，得H(5－2，－).则直线HN的方程为y＝(2＋)x－2，过点(0，－2). ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(4＋k)＝0，由根与系数的关系得 且x1y2＋x2y1＝，(*) 联立可得T(＋3，y1)，则H(3y1＋6－x1，y1). 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2). －)，由＝，得H(5－2，－).则直线HN的方程为y＝(2＋)x－2，过点(0，－2). ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(4＋k)＝0，由根与系数的关系得 且x1y2＋x2y1＝，(*) 联立可得T(＋3，y1)，则H(3y1＋6－x1，y1). 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2). 0，由根与系数的关系得 且x1y2＋x2y1＝，(*) 联立可得T(＋3，y1)，则H(3y1＋6－x1，y1). 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2). 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入，整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2). 求定点问题的解题策略 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点． (1)解：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x， 所以－＝1，＝1，解得a＝b＝，所以C的方程为－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x＝2py1，x＝2py2. 由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8>0，所以y1＋y2＝2p，y1y2＝2， 所以x1x2＝·＝2p. 因为kAB＝＝，所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－， 所以直线AB过定点(0，－). (x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－， 所以直线AB过定点(0，－). 2．已知抛物线C：x2＝－2py过点(2，－1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． (1)解：由抛物线C：x2＝－2py过点(2，－1)，得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1. (2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1). 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0). 联立得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0恒成立． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4. 直线OM的方程为y＝x. 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－. 同理，得点B的横坐标xB＝－. 设点D(0，n)，则＝(－，－1－n)，＝(－，－1－n)， ·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3). 令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－. 同理，得点B的横坐标xB＝－. 设点D(0，n)，则＝(－，－1－n)，＝(－，－1－n)， ·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3). ＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2. 令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3). $$