第8章 第1节 第❶课时 直线的倾斜角与斜率、直线方程（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第八章　解析几何 第一节　直线方程、两直线的位置关系 课标解读 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 必备知识 基础落实 课标解读 4．能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直． 5．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 6．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离． 必备知识 基础落实 x轴正向 向上 0°≤α<180° 必备知识 基础落实 正切值 tan α 必备知识 基础落实 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 必备知识 基础落实 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 必备知识 基础落实 －1 A1A2＋B1B2＝0 必备知识 基础落实 b1≠b2 b1＝b2 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　 　　) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　 　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　 　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　 　　) × √ × × 必备知识 基础落实 × × × 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 谢谢观看！ 知识点一　直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，________与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为________________. 2．直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_______(α≠90°). (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么该直线的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 (1)点斜式：______________(不含直线x＝x0)； (2)斜截式：_________ (不含垂直于x轴的直线)； (3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2，不含直线x＝x1和直线y＝y1)； (4)截距式：＋＝1(不含垂直于坐标轴和过原点的直线)； (5)一般式：______________________(平面直角坐标系内的直线都适用). 知识点二　两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝____ ________________ 平行 k1＝k2且_______ 重合 k1＝k2且_______ A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1 ＝A1C2－A2C1＝0 续表 2.三种距离 (1)两点间的距离：对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝ _____________________________； (2)点到直线的距离：设点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d， 则d＝________________； (3)两平行线间的距离：设直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋ C2＝0的距离为d，则d＝______________． (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0；(2)y轴：x＝0；(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)；(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)；(5)过原点的直线：y＝kx或x＝0. 谨防4个易错点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (4)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 2个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. (5)当直线l1和l2斜率都存在时，k1＝k2⇒l1∥l2.(　　 　　) (6)如果两条直线l1和l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.(　　 　　) (7)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版选择性必修第一册P58 T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 2．(苏教版选择性必修第一册P18 T2改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A.x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 解析：因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 3．(北师大版选择性必修第一册P19 T2改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 4．(湘教版选择性必修第一册P59 例1改编)已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________． 答案：　 5．(人教A版选择性必修第一册P77 T3改编)已知点B(m，6)到直线3x－y＋6＝0的距离为3，则实数m的值为________． 答案：± 6．(人教B版选择性必修第一册P85 T6改编)已知直线l过点A(3，0)，且在两坐标轴上的截距之和为5，则直线l的方程是____________． 答案：2x＋3y－6＝0 7．(湘教版选择性必修第一册P67 T2改编)已知直线l的方程为5x－ay＋10＝0，若直线l与两坐标轴所围成的三角形面积为10，则实数a＝________． 答案：±1 8．(人教A版选择性必修第一册P79 T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________． 答案： 第❶课时　直线的倾斜角与斜率、直线方程 考点 直线的倾斜角与斜率(自悟通) 1.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 解析：因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2. 2．直线2x cos α－y－3＝0(α∈[，])的倾斜角的取值范围是(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].又θ∈[0，π)，所以θ∈[，]，即倾斜角的取值范围是[，]. 3．已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ 解析：直线l：y＝k(x－2)＋1过定点P(2，1).∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤. (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法． (2)倾斜角和斜率范围的求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性． 考点 直线方程(自悟通) 1.经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0 解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1.又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0. 2．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________． 答案：2x＋3y－5＝0　 解析：联立解得∴直线l1，l2的交点为(1，1).∵所求直线的一个方向向量v＝(－3，2)，∴所求直线的斜率k＝－.则所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 3．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； (2)若直线l的斜率为1，则m＝________． 答案：(1)－　(2)－2　 解析：(1)由直线l在x轴上的截距为－3，得直线过点(－3，0)，代入方程，得(m2－2m－3)×(－3)－0＋6－2m＝0，即3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－，经检验可知当m＝3时，直线方程为y＝0，不合题意，舍去，所以m＝－. (2)由直线l的斜率为1，得直线方程中x，y的系数互为相反数，且不为0，所以(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝0，解得m＝－2或m＝－1，当m＝－1时，2m2＋m－1＝0，不合题意，舍去，所以m＝－2. 求直线方程的方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程． (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程． 考点 直线方程的综合应用(精研通) 命题点1　直线过定点问题 【例1】已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________． 答案：(1)(0，3)　(2)(－3，0)　(3)(3，0) 解析：(1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0). 命题点2　与直线有关的最值问题 【例2】(1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． (2)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 答案：(1)5　 解析：易得A(0，0)，B(1，3).设P(x，y)，则消去m得x2＋y2－x－3y＝0，所以点P在以AB为直径的圆上，PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，故|PA|·|PB|≤＝5. (2)解：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A(，0)，B(0，1－2k). ∵直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点， ∴解得k<0. 于是S△AOB＝|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝(4－－4k)≥[4＋2]＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 方法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又＋≥2，则ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. 于是S△AOB＝|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝(4－－4k)≥[4＋2]＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－4＝0. 方法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又＋≥2，则ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. 即x＋2y－4＝0. 方法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又＋≥2，则ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标． (2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积． (3)求参数值或范围时，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得∴无论k取何值，直线l总过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意． 故k的取值范围是[0，＋∞). $$