第2章 第7节 函数模型及其应用（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

高考总复习 数学 第二章　函　数 第七节　函数模型及其应用 课标解读 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 性质 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 ________ ________ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 单调递增 单调递增 必备知识 基础落实 性质 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 图象 的变化 随x的增大，逐渐表现为与_____平行 随x的增大，逐渐表现为与____平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax y轴 x轴 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　 　　) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　 　　) × × × × 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 月份 用气量 燃气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 [方法技巧] 关键能力 精准突破 请完成：分级练（17） 温馨提示 谢谢观看！ 知识点一　几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) 函数模型 函数解析式 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) 知识点二　三种函数模型的性质 对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．当x＞0时，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2. (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　 　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　 　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P222例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 2．(湘教版必修第一册P148 T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48.从数量级的角度考虑，则约为______． 答案：1093 3．(人教A版必修第一册P96 T3改编)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按3元/m3收费；用水超过10 m3的，超过的部分按5元/m3收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水________m3. 答案：15 4．(人教A版必修第一册P161 T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95)________． 答案：0.25 考点 利用已知函数模型解决实际问题(自悟通) 1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某流行性病毒累计感染病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大感染病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着感染情况已初步遏制，则t*约为(参考数据：ln 19≈3)(　　) A．60 B．65 C．66 D．69 解析：由已知可得＝0.95K，解得e－0.23(t*－52)＝，两边取对数有－0.23(t*－52)＝－ln 19≈－3，解得t*≈65. 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K(单位：万元)是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案：2 500　 解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500， 所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元). 3．某市家庭燃气的使用量x(单位：m3)和燃气费f(x)(单位：元)满足关系式f(x)＝已知某家庭2024年前三个月的燃气费如下表： 若四月份该家庭使用了20 m3的燃气，则其燃气费为________元． 答案：11.5　 解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，则f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5. 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 考点 利用函数图象刻画实际问题(自悟通) 1.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 解析：依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x.观察四个选项知D符合要求． 2．图中实线是某景点收支差额y关于游客量x的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格，决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是(　　) 解析：对于A，当x＝0时，虚线y值减小，说明成本提高了，不满足题意，故A错误；对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，故B错误；对于C，当x＝0时， y值不变，说明成本不变，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝0时，虚线y值变大，说明成本减小，又因为虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，故D正确． 3．某速滑馆使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C. 当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 解析：当T＝220，P＝1 026时，lg P>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误；当T＝270，P＝128时，2<lg P<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误；当T＝300，P＝9 987时，lg P与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T＝300时对应的是非超临界状态，故C错误；当T＝360，P＝729时，因为2<lg P<3，故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确． 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案． 考点 构建函数模型解决实际问题(精研通) 命题点1　构建一次、二次函数模型 【例1】如图，已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4 m，CD＝6 m.为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x m，PN＝y m，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 解：(1)如图，作PQ⊥AF于点Q， 则PQ＝8－y，EQ＝x－4. ∵PQ∥DF，∴△EDF∽△EPQ. 在△EDF中，＝， ∴＝，∴y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x(10－)＝－(x－10)2＋50，4≤x≤8， ∴S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，∴当x∈[4，8]时，S(x)单调递增， ∴当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，即最大面积为48 m2. 解决一次、二次函数模型问题的三个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题． 命题点2　构建与指数、对数有关的函数模型 【例2】基本再生数R0与世代间隔T是某病毒传染的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在该病毒感染暴发初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在该病毒感染暴发初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的 时间约为(参考数据：ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在该病毒感染暴发初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝≈≈1.8(天). 指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)先合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2024年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 解析：设2024年后的第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n＞200，则n＞≈＝.又n∈N*，∴n≥4，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2028年． 命题点3　构建y＝x＋(a>0)型函数模型 【例3】某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．若该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的解析式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． 解：(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k＝40， 因此C(x)＝(0≤x≤10). 又每厘米厚的隔热层建造成本为6万元， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f(x)＝＋6x＝＋6x＋10－10≥2－10＝2×40－10＝70， 当且仅当6x＋10＝40，即x＝5时等号成立． 故当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元． 解决与分式函数有关的实际应用问题的难点 (1)构建函数式．破解此难点的方法是仔细审题，恰当地设出未知数，把题目条件的文字叙述所表达的等量关系转化为函数式． (2)根据构建的函数式求最值．由于得到的函数式为分式函数，一般要通过拆分、合并等变形把其化为at＋(a>0，b>0)的形式，再利用基本不等式求最值，同时要注意等号是否成立． 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是(　　) A．56 dm2 B．65 dm2 C．120 dm2 D．88 dm2 解析：设四周空白部分的面积是y dm2，阴影部分的长为x dm，则宽为 dm.由题意得，y＝(x＋4)·(＋2)－72＝8＋2(x＋)≥8＋2×2＝56，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立．所以四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 命题点4　构建分段函数模型 【例4】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的关系近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)据进一步测定：当每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间． 解：(1)由题图可得，当0≤t＜1时，y＝kt；当t≥1时，y＝()t－a. 分别将点M(1，4)的坐标代入，得4＝k×1，4＝()1－a，解得k＝4，a＝3. 故y＝f(t)＝ (2)由题意知f(t)≥0.25， 则当0≤t＜1时，4t≥0.25，解得≤t＜1；当t≥1时，()t－3≥0.25，解得1≤t≤5. 综上所述，≤t≤5. 故服药一次治疗疾病的有效时间为5－＝(h). 分段函数模型的求解策略 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). $$