分级练(69)　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(69)　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 分级一　提能强化 1．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：在第一次摸到红球的条件下，第二次从3个球(2白1红)中摸到白球的概率为. 2．甲、乙两人参加某知识竞赛，甲、乙两人能获得一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　) A． B． C． D． D　解析：据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获而乙未获一等奖或乙获而甲未获一等奖，则所求概率是×(1－)＋×(1－)＝. 3．书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两名同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是(　　) A． B． C． D． B　解析：用事件B表示“乙取到语文书”，事件A表示“甲取到语文书”，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 4．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F，G为7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A．1－ B．1－ C． D． A　解析：电路由上到下有3个分支并联，开关A，B所在的分支不通的概率为1－×＝，开关C，D所在的分支不通的概率为×＝，开关E，F，G所在的分支不通的概率为1－×(1－×)＝，所以灯亮的概率是1－××＝1－. 5．(多选)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则(　　) A．B与A1相互独立 B．A1，A2，A3两两互斥 C．P(B|A2)＝ D．P(B)＝ BC　解析：事件A1的发生与事件B的发生有影响，因此事件A1与事件B不独立，A错误；A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；P(B|A2)＝＝＝，C正确；P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，D错误． 6．已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，如果A与B互斥，令m＝P(AB)；如果A与B相互独立，令n＝P().则n－m＝________． 答案：0.4　解析：∵A与B互斥，∴m＝P(AB)＝0.∵A与B相互独立，∴n＝P()＝P()·P()＝(1－0.5)×(1－0.2)＝0.4，∴n－m＝0.4. 7．人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票将上涨的概率为________． 答案：64%　解析：记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件C，由题意知P(A)＝60%，P()＝40%，P(C|A)＝80%，P(C|)＝40%，∴P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)＝48%＋16%＝64%. 8．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为________． 答案：　解析：设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内该难题得到解决”为事件D，则P(A)＝P(B)＝，P(C)＝，D＝A∪B∪C，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，＝，所以P()＝P()＝P()P()P()＝××＝，故P(D)＝1－P()＝. 9．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行对决，胜者晋级决赛，败者终止比赛．比赛最多有三局．第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答．比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局．已知甲、乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立． (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲、乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率． 解：(1)设“甲至多经过两局比赛晋级决赛”为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜， 则P(A)＝＋×＝. (2)记“乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛”分别为事件B，C，D， 则P(B)＝1－(＋)＝，P(C)＝×(1－－)＝，P(D)＝××(1－)＝， 故在乙最后晋级决赛的前提下，乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为＝. 10．在学期期末，某校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组[40，50)，第2组[50，60)，第3组[60，70)，第4组[70，80)，第5组[80，90)，第6组[90，100]，得到频率分布直方图如图． (1)求得分的中位数(精确到小数点后一位)； (2)为进一步改善经营，从得分在80分以下的四组中，采用分层随机抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，求在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率． 解：(1)由0.05＋0.05＋0.10＋10a＋0.45＋0.15＝1，得a＝0.020. 设得分的中位数为x，易知80≤x<90， 则0.05＋0.05＋0.10＋0.20＋(x－80)×0.045＝0.5，得x≈82.2. 所以得分的中位数约为82.2. (2)第1，2，3，4组的人数分别为10，10，20，40， 从第1，2，3，4组采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则从第1，2，3，4组应分别抽取的人数为1，1，2，4. 从8人中抽取3人，记“第3组仅抽到1人”为事件A，“第4组抽到2人”为事件B， 则P(B|A)＝＝. 故在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率为. 分级二　知能探究 11．甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求甲最终获胜的概率． 解：(1)设M＝“甲连胜四场”，则P(M)＝()4＝. (2)设A＝“甲输”，B＝“乙输”，C＝“丙输”， 则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝4×()4＝， 所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝. (3)设A＝“甲输”，B＝“乙输”，C＝“丙输”，N＝“甲最终获胜”， 则N的基本事件包括：BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC， 所以甲最终获胜的概率为P(N)＝()4＋7×()5＝. 12．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1) 解：(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}， 则由条件概率公式可得P(C|B)＝＝＝＝0.001 437 5≈0.001 4. 分级三　素能创新 13．孔子曰“三人行，必有我师焉”．从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元．假设甲、乙、丙三人中，每一人在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率约为(参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973＝0.912 673)(　　) A．0.002 7% B．99.997 3% C．0 D．91.267 3% B　解析：一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为0.99360≈0.03，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率约为0.033＝0.000 027，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率约为1－0.000 027＝0.999 973＝99.997 3%. 学科网（北京）股份有限公司 $$