分级练(67)　二项式定理（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(67)　二项式定理 分级一　提能强化 1．若(1＋x)6的展开式中共有n个有理项，则n的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：因为(1＋x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x)r＝C·x，r＝0，1，…，6，当且仅当r＝0，3，6时，为整数，可得T1，T4，T7为有理项． 2．已知(＋)8的展开式中各项系数之和为0，则展开式中x的系数为(　　) A．28 B．－28 C．45 D．－45 A　解析：(＋)8的展开式中各项系数之和为0，所以令x＝1，得(1＋a)8＝0，则a＝－1，所以(－)8的通项公式为Tr＋1＝C()8－r·(－)r＝C(－1)rx4－r(r＝0，1，2，…，8).令4－r＝1，解得r＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝28. 3．在(ax＋1)6的展开式中，x2的系数比x3的系数多35，则其各项系数之和为(　　) A．1 B．243 C．64 D．0 D　解析：由二项式定理，得(ax＋1)6＝C(ax)6＋C(ax)5＋C(ax)4＋C(ax)3＋C(ax)2＋C(ax)1＋C(ax)0.∵x2项的系数比x3项的系数多35，∴Ca2－Ca3＝35，即3a2－4a3＝7，解得a＝－1.∴(－x＋1)6＝Cx6－Cx5＋Cx4－Cx3＋Cx2－Cx1＋C，令x＝1，得各项系数之和为C－C＋C－C＋C－C＋C＝0. 4．若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则a1＋a2＋…＋a2 024＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　解析：令x＝0，代入得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，所以a1＋a2＋…＋a2 024＝0. 5．在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为(　　) A．－5 B．－15 C．－25 D．25 B　解析：因为(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋C(－x)3＋…，所以在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为5－2C＝－15. 6．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 ABC　解析：令x＝－1，得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确．令x＝0，得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝Cy5－k·(－2)k，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确．a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C正确． 7．若(1－ax)8的展开式中第6项的系数为1 792，则实数a的值为________. 答案：－2　解析：因为第6项T5＋1＝C(－ax)5＝C(－a)5x5＝C(－a)5x5，所以有C(－a)5＝－56a5＝1 792，所以a5＝－32，解得a＝－2. 8．已知m∈Z，二项式(m＋x)4的展开式中x2的系数比x3的系数大16，则m＝________. 答案：2　解析：由Cm2－Cm＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－.又m∈Z，所以m＝2. 9．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 答案：8　－2　解析：含x2的项为x·C·x·(－1)3＋2·C·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8；令x＝0，得2＝a0，令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 分级二　知能探究 10．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：由二项式定理，得a1＝－C·24＝－80，a2＝C·23＝80，a3＝－C·22＝－40，a4＝C·2＝10，所以＝－. 11．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 D　解析：a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1.又a≡b(mod 10)，所以b的值可以是2 021. 12．(＋＋)5(x＞0)的展开式中的常数项为________. 答案：　解析：(＋＋)5(x＞0)可化为(＋)10，因而Tk＋1＝C()10－k·()10－2k，令10－2k＝0，得k＝5， 故展开式中的常数项为C·()5＝. 13．从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，则(2x－)n的展开式中的常数项为________．(用数字作答) 答案：－160　解析：因为从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，所以n＝CA＝6，所以二项式(2x－)6展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－k(－)k＝C·(－1)k·26－k·x6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，所以二项式展开式的常数项为C·(－1)3·23＝－160. 14．(1＋2x－x2)n展开式中各项系数的和为64，则(1＋x＋)n展开式中的常数项为________． 答案：76　解析：因为(1＋2x－x2)n展开式中各项系数的和为64，则令x＝1，得2n＝64，解得n＝6.(1＋x＋)6表示6个因式1＋x＋的乘积，在这6个因式中，有6个因式都选1，可得常数项为1；有2个因式都选x，有1个因式选，其余的3个因式都选1，可得常数项为CCC×13＝60；有4个因式都选x，有2个因式都选，可得常数项为CC＝15.故展开式中的常数项为60＋15＋1＝76. 分级三　素能创新 15．设(1－ax)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝2 024a(a≠0)，则实数a＝________. 答案：2　解析：已知(1－ax)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，两边同时对x求导，得2 024(1－ax)2 023·(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x＝1，得－2 024a(1－a)2 023＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝2 024a. 又a≠0，所以(1－a)2 023＝－1，即1－a＝－1，故a＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$