分级练(65)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(65)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分级一　提能强化 1．一个电路中含有(1)(2)两个零件，零件(1)含有A，B两个元件，零件(2)含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为(　　) A．9 B．8 C．6 D．5 C　解析：由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为2×3＝6. 2．7月3日，甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄，当天从邢台到石家庄有11个车次，其中有5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点，有6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点．已知甲选择早上6点以后出发的车次，乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次，则两人车次的不同选择共有(　　) A．11种 B．36种 C．66种 D．121种 C　解析：依题意可得甲有6种选择，乙有11种选择，由分步乘法计数原理可得两人车次的不同选择共有6×11＝66(种). 3．某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3名同学准备参加该活动，则不同的体验方案种数为(　　) A．C B．A C．53 D．35 C　解析：每个人都可以参加5项活动中的一项，共有53种方法． 4．从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(　　) A．7 B．9 C．10 D．13 C　解析：其中各位数字之和等于6的三位数可分为三类．①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.∴这样的三位数的个数为3＋6＋1＝10. 5．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 B．6种 C．10种 D．16种 B　解析：分两类．甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法(如图)；同理，甲先踢给丙时，满足条件也有3种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋3＝6种传递方法． 6．为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有(　　) A．15种 B．16种 C．17种 D．18种 B　解析：甲高校与用人单位对接的方案种数为3＋1＝4，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4＝16(种). 7．某航母编队将进行一次编队配置科学演练，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左右，每侧2艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为(　　) A．16 B．32 C．36 D．64 B　解析：2艘攻击型核潜艇放在中间，共有2种顺序，这2艘攻击型核潜艇前方是1艘护卫舰和1艘驱逐舰，剩余的1艘护卫舰和1艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后方，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案的方法数为2×22×2×2＝32. 8．(多选)已知集合A＝{－1，2，3，4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．可表示3个不同的圆 B．可表示6个不同的椭圆 C．可表示3个不同的双曲线 D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个 ABD　解析：当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个不同的圆，A正确．当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6个不同的椭圆，B正确．若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2，3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，D正确．当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6个不同的双曲线，C错误． 9．如图，用4种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　) A．144种 B．73种 C．48种 D．32种 C　解析：先对区域B涂色，有4种选择，其次再对区域C涂色，有3种选择，然后对区域A，D涂色，有两种情况：①若区域A，D同色，有2种情况；②若区域A，D不同色，有2×1＝2种情况．综上所述，不同的涂法共有4×3×(2＋2)＝48(种). 10．如图，某地有南北街道5条、东西街道6条．一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有________种不同的走法． 答案：60　解析：由题意可知，从A经C到B的最短路程，只能向西、向南运动．从A到C，最短路程需要向南走3次，向西走2次，即从5次中任取2次向西，剩下3次向南，有C＝10种不同的走法；从C到B，最短路程需要向南走2次，向西走2次，即从4次中任取2次向西，剩下2次向南，有C＝6种不同的走法．故从A经C到B的最短路程，共有10×6＝60种不同的走法． 11．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________． 答案：36　解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个). 分级二　知能探究 12．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有(　　) A．32个 B．34个 C．36个 D．38个 A　解析：先把数字分成{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}这样5组，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个这样的子集． 13．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(　　) A．4 320种 B．2 880种 C．1 440种 D．720种 A　解析：分步进行.1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法．根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320种不同的涂色方法． 14．在某一运动会男子百米赛跑决赛上，8名运动员参赛．其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种． 答案：2 880　解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，故安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种). 15．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，就称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为____________. 答案：240　解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)……若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个). 16．如图所示，某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，每座桥只能连通两个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，设计方案最多有________种． 答案：12　解析：四个人工小岛分别记为A，B，C，D，对A分有一座桥相连和两座桥相连两种情况，用“－”表示桥． ①当A只有一座桥相连时，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6种方法； ②当A有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6种方法． 故设计方案最多有6＋6＝12(种). 17．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数为________. 答案：336　解析：甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343种站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种). 分级三　素能创新 18．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x＋x＋x＋x≤3”的元素个数为(　　) A．60 B．65 C．80 D．81 B　解析：根据题中x＋x＋x＋x≤3考虑x1，x2，x3，x4的可能取值． ①4个数均为0，有1个； ②有1个数取值为0，另外3个数从{－1，1}中取，共有C·23＝32(个)； ③有2个数取值为0，另外2个数从{－1，1}中取，共有C·22＝24(个)； ④有3个数取值为0，另外1个数从{－1，1}中取，共有C·2＝8(个). 所以集合A中满足条件的元素个数为1＋32＋24＋8＝65. 学科网（北京）股份有限公司 $$