分级练(48)　利用空间向量求空间角（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(48)　利用空间向量求空间角 分级一　提能强化 1．如图，等边三角形ABC的边长为3，DE⊥AB分别交AB，AC于D，E两点，且AD＝1，将△ADE沿DE折起(点A与点P重合)，使得平面PDE⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 易知DE＝，点C到直线BD的距离为，则P(0，0，1)，B(2，0，0)，C(，，0)，E(0，，0)，从而＝(2，0，－1)，＝(－，－，0).故cos 〈，〉＝＝＝－，因此〈，〉是钝角，sin 〈，〉＝. 2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1所成的角为45°时，点Q的轨迹为(　　) A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 C　解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，DA1＝(1，0，1). 设Q(x，y，1)，可得＝(x，y，1). 因为直线DQ与所成的角为45°， 所以cos 45°＝|| ＝||＝， 化简可得y2＝2x，所以点Q的轨迹为抛物线． 3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，对角线B1D与平面A1BC1交于点E，则A1E与平面AA1D1D所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 4．PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． B　解析：方法一　如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD， 作CG⊥PD于点G，CH⊥PA于点H，连接HG，易得CG⊥PA.又CH∩CG＝C，CH，CG⊂平面CHG，则PA⊥平面CHG.又HG⊂平面CHG，则PA⊥HG， 有 故cos ∠CPA＝cos ∠CPD×cos ∠APD. 已知∠APC＝60°，∠APD＝30°，故cos ∠CPD＝＝＝，即直线PC与平面PAB所成角的余弦值为. 方法二　把PA，PB，PC放在正方体中(PA，PB，PC的夹角均为60°)，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设正方体棱长为1，则P(1，0，0)，C(0，0，1)，A(1，1，1)，B(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(－1，1，0).设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)， 所以cos 〈，n〉＝＝＝－. 设直线PC与平面PAB所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝.因为θ∈[0，]，所以cos θ＝＝. 5．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________． 答案：2　解析：如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系． 设AE＝a(a＞0)，则B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1，0，3)，E(1，0，a)，∴＝(－1，0，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，，－a).设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即则y＝0，令z＝1，得x＝－a， 此时n＝(－a，0，1)，∴cos 〈n，〉＝＝.∵直线OF与平面BED所成的角为45°，∴＝，解得a＝2或a＝－(舍去)，∴AE＝2. 6．如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，E是空间中一点，且AE⊥平面ABC. (1)求证：AE∥平面BCD； (2)若BD⊥CD，AB＝BD＝CD，求平面CAE与平面DAE夹角的余弦值． (1)证明：如图，过点D作DF⊥BC，垂足为F. 因为AB⊥平面BCD，DF⊂平面BCD， 所以AB⊥DF. 又AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，所以DF⊥平面ABC. 又AE⊥平面ABC，所以AE∥DF. 又DF⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以AE∥平面BCD. (2)解：设AB＝BD＝CD＝2. 以B为坐标原点，BD为y轴，BA为z轴，过点B垂直BD(与CD平行)的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，2)，B(0，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，F(1，1，0)，得＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，＝(－1，1，0). 由(1)知，存在λ≠0，使得＝λ＝(－λ，λ，0). 设平面CAE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝2，所以m＝(1，1，2). 设平面DAE的一个法向量为n＝(a，b，c)，则令a＝1，则b＝1，c＝1，所以n＝(1，1，1). 设平面CAE与平面DAE的夹角为α， 则cos α＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝， 所以平面CAE与平面DAE夹角的余弦值为. 7．如图，圆柱O1O底面直径AB长为4，C是圆O上一点，且＝2，AA1和BB1是母线． (1)求证：平面A1AC⊥平面A1BC； (2)若A1C与平面ABB1A1所成的角为，求平面A1BC与平面B1BC夹角的余弦值． (1)证明：∵在圆柱O1O中，直线AA1⊥平面ABC， ∴直线AA1⊥直线BC. ∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 于是可得BC⊥平面A1AC. 又BC⊂平面A1BC， ∴平面A1AC⊥平面A1BC. (2)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，连接A1D. ∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面ABB1A1，所以平面ABC⊥平面ABB1A1. 又CD⊥AB，平面ABC与平面ABB1A1的交线为AB，∴CD⊥平面ABB1A1. ∴∠CA1D即为A1C与平面ABB1A1所成的角，即∠CA1D＝. ∵A1D⊂平面ABB1A1，∴CD⊥A1D， ∴△CA1D为等腰直角三角形． ∵＝2，∴∠AOC＝，∠COB＝， ∴△AOC为等边三角形， ∴AD＝DO＝AB＝1，CD＝，∴A1D＝CD＝， ∴A1A＝＝. 以O为坐标原点，以直线AB为y轴，以过点O且垂直于直线AB的直线为x轴，以O1O所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据题意，得B(0，2，0)，C(，－1，0)，A1(0，－2，)，B1(0，2，)， 分级二　知能探究 8．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝BC＝1，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)求证：平面AEF⊥平面PBC； (2)若平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为45°，求BF的长． (1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC. ∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC. 又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 又AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC. ∵PA＝AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB. 又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC， ∴AE⊥平面PBC. 又AE⊂平面AEF， ∴平面AEF⊥平面PBC. (2)解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，E(，0，)， ∴＝(，0，)，＝(1，2，－1)，＝(0，2，－1). 设F(1，λ，0)(0≤λ≤2)，则＝(1，λ，0). 设平面AEF的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则∴令y1＝1，则 ∴n＝(－λ，1，λ). 设平面PCD的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，则∴令y2＝1，则∴m＝(0，1，2). ∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为45°， ∴|cos 45°|＝＝＝， 解得λ＝2±， ∵0≤λ≤2，∴λ＝2－，即BF＝2－. 9．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面A1B1BA⊥平面ABC，侧面A1B1BA为菱形，∠ABB1＝，AB1⊥AC，AB＝AC＝2，E是AC的中点． (1)求证：A1B⊥平面AB1C； (2)确定在线段A1E上是否存在一点P，使得AP与平面A1B1E所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (1)证明：因为侧面A1B1BA为菱形，∠ABB1＝，所以△B1BA是等边三角形． 取AB的中点O，连接B1O， 于是有B1O⊥AB. 又平面A1B1BA⊥平面ABC，B1O⊂平面A1B1BA，平面A1B1BA∩平面ABC＝AB，所以B1O⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC，所以B1O⊥AC. 又AB1⊥AC，且B1O∩AB1＝B1，B1O，AB1⊂平面A1B1BA，所以AC⊥平面A1B1BA. 又A1B⊂平面A1B1BA，则AC⊥A1B. 由四边形A1B1BA为菱形，得A1B⊥AB1. 又AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A， 所以A1B⊥平面AB1C. (2)解：由(1)可知B1O⊥AB，B1O⊥AC，AC⊥平面A1B1BA，且AB⊂平面A1B1BA，有AC⊥AB.取BC的中点D，连接OD，有OD∥AC，OD⊥AB，以O为原点，{，，OB1}为空间正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，A(－1，0，0)，A1(－2，0，)，E(－1，1，0)，B1(0，0，)， 依题意可得sin ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 整理得5λ2－2λ＝0，解得λ＝或λ＝0， 所以存在满足条件的点P使AP与平面A1B1E所成的角为，且的值为或0. 学科网（北京）股份有限公司 $$