分级练(31)　正弦定理、余弦定理的综合应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(31)　正弦定理、余弦定理的综合应用 分级一　提能强化 1．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n. (1)求角A的大小； (2)求函数y＝2sin2B＋cos(－2B)的值域． 解：(1)∵m∥n，∴(2b－c)cos A－a cos C＝0， 由正弦定理得(2sin B－sin C)cos A－sin A cos C＝0， 即2sin B cos A－sin (A＋C)＝2sin B cos A－sin B＝0. ∵B∈(0，)，∴sin B≠0，∴cos A＝. 又A∈(0，)，∴A＝. (2)在锐角三角形ABC中，A＝，∴<B<. ∴y＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B＝1＋sin 2B－cos 2B＝1＋sin (2B－). ∵<B<，∴<2B－<， ∴<sin (2B－)≤1，∴<y≤2， ∴函数y＝2sin2B＋cos(－2B)的值域为(，2]. 2．已知△ABC的外接圆半径R＝2且三个角的正弦值sin A，sin B，sin C成等比数列． (1)求B的取值范围； (2)求△ABC的面积的最大值． 解：(1)由条件sin2B＝sinA sin C，由正弦定理得b2＝ac， 由余弦定理得cos B＝＝. 因为a2＋c2≥2ac，所以cos B≥＝(当且仅当a＝c时等号成立).故0<B≤60°. (2)S△ABC＝ac sin B＝b2sin B. 因为＝2R＝4，即b＝4sin B， 所以S△ABC＝8sin3B≤8()3＝3. 故△ABC的面积的最大值为3. 3.如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为. (1)求AC的长； (2)若AB⊥AD，∠B＝，求BC的长． 解：(1)∵∠D＝，CD＝，S△ACD＝， ∴S△ACD＝AD·CD·sinD＝×AD××＝，∴AD＝. ∴由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×(－)＝18，∴AC＝3. (2)由(1)知，△ACD中AD＝，CD＝，∠D＝，∴∠DAC＝. 又AB⊥AD，∴∠BAC＝. 又∠B＝，AC＝3， ∴在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝，∴BC＝3. 分级二　知能探究 4．(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC的面积． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2， 故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin (A＋B)＝sin C， ∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)， ∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos Asin B，∴－2cos A sin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bc sinA＝×1×＝. 5．在①2a sin B－b cos C－c cos B＝0，②sin2A－sin2B＋sin2C－sinA sin C＝0，③sin A sin C－sin B－cos A cos C＝0三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________(填写序号即可). (1)求B； (2)若a＝1，求b＋c的取值范围． 解：(1)若选①，由正弦定理得2sin A sin B＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A. 又sin A≠0，所以sin B＝. 又B∈(0，)，所以B＝. 若选②，由正弦定理得a2－b2＋c2－ac＝0， 即a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理得cos B＝＝. 又B∈(0，)，所以B＝. 若选③，则－sin B＝cos A cos C－sin A sin C＝cos (A＋C)＝cos (π－B)＝－cos B， 从而得tan B＝.又B∈(0，)，所以B＝. (2)由正弦定理＝＝得b＝＝，c＝＝＝＝＋，所以b＋c＝＋＝＋＝＋. 由△ABC是锐角三角形可得 得<A<，则<<. 因为y＝tan x在(，)上单调递增， 所以tan ∈(，1)，从而∈(1，)， 所以b＋c的取值范围为(，). 学科网（北京）股份有限公司 $$