分级练(29)　y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(29)　y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 分级一　提能强化 1．将函数f(x)＝2sin (2x－)的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．g(x)＝2sin (2x－) B．g(x)＝2sin (2x＋) C．g(x)＝2sin (2x－) D．g(x)＝2sin (2x＋) B　解析：该函数周期为T＝π，将函数f(x)＝2sin (2x－)的图象向左平移个周期，即个单位长度后，所得图象对应的函数为g(x)＝2sin [2(x＋)－]＝2sin (2x＋). 2．为了得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin (2x＋)的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 D　解析：因为y＝sin (2x＋)＝sin 2(x＋)， 所以函数y＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，可得到函数y＝sin 2x的图象． 3．(多选)函数f(x)＝sin x＋a cos x(a≠0)在一个周期内的图象可以是(　　) AC　解析：令函数f(x)＝sin x＋a cos x＝·sin (x＋φ)，其中φ∈(－，)，tan φ＝a. 因为a≠0，所以φ∈(－，0)∪(0，). 又函数f(x)的图象是由曲线y＝sin x向左或向右平移|φ|个单位长度得到的，故A，C符合题意． 4．把函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ＝(　　) A． B． C． D． D　解析：函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的解析式是y＝sin [2(x－)＋φ]＝sin (2x＋φ－)，由于该函数为偶函数，故φ－＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝kπ＋，k∈Z，而0<φ<π，故φ＝. 5．(多选)将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)的图象，则(　　) A．f(x)＝sin (2x－) B．(，0)是f(x)图象的一个对称中心 C．当x＝－时，f(x)取得最大值 D．函数f(x)在区间[π，]上单调递增 ABD　解析：f(x)＝sin [2(x－)]＝sin (2x－)，所以A正确． f()＝sin 0＝0，所以B正确． f(－)＝sin (－)＝－1，为最小值，所以C错误． 当x∈[π，]时，2x－∈[，]⊆[，]， 而sin t在t∈[，]上单调递增，所以函数f(x)在区间[π，]上单调递增，所以D正确． 6．(多选)关于函数f(x)＝3sin (2x－)＋1(x∈R)，下列说法正确的是(　　) A．若f(x1)＝f(x2)＝1，则x1－x2＝kπ(k∈Z) B．y＝f(x)的图象关于点(，1)对称 C.y＝f(x)在(0，)上单调递增 D．y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 BD　解析：对于A，由f(x1)＝f(x2)＝1知(x1，1)，(x2，1)是f(x)＝3sin (2x－)＋1图象的两个对称中心，则x1－x2是函数f(x)的二分之一最小正周期的整数倍，即x1－x2＝(k∈Z)，故A不正确； 对于B，因为f()＝3sin π＋1＝1， 所以点(，1)是f(x)图象的对称中心，故B正确； 对于C，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 当k＝0时，f(x)在[－，]上单调递增， 则f(x)在[0，]上单调递增，在[，]上单调递减，故C不正确； 对于D，y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为 y＝3sin [2(x－)－]＋1＝－3cos 2x＋1，x∈R， 函数y＝－3cos 2x＋1是偶函数，所以图象关于y轴对称，故D正确． 7．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝____________． 答案：cos 2x　解析：根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象，可得A＝1，×＝－，∴ω＝2.再结合五点法作图，可得2×＋φ＝π，∴φ＝，∴f(x)＝sin (2x＋).将f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数g(x)＝sin (2x＋)＝cos 2x的图象． 8．写出一个满足以下三个条件的函数：f(x)＝________. ①定义域为R；②f(x)不是周期函数；③f′(x)是周期为2π的函数． 答案：x＋sin x(答案不唯一)　解析：f(x)的解析式形式为ax±b sin (x＋φ)(ab≠0)或ax±b cos (x＋φ)(ab≠0)均可．如：f(x)＝x＋sin x定义域为R，不是周期函数，且f′(x)＝1＋cos x是周期为2π的函数． 9．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求f(x)； (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的最小值． 解：(1)由最大值可确定A＝2.因为＝－＝， 所以ω＝＝2，此时f(x)＝2sin (2x＋φ)， 将最高点(，2)代入，可得sin (＋φ)＝1， 即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，结合|φ|<， 当k＝0时，φ＝，所以f(x)＝2sin (2x＋). (2)由题意，g(x)＝f(x＋)＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin (2x＋)＝2cos 2x， 当x∈[0，]时，2x∈[0，]， 则有cos 2x∈[－，1]， 所以g(x)在区间[0，]上的值域为[－1，2]，故g(x)在[0，]上的最小值为－1. 分级二　知能探究 10．将函数f(x)＝2sin (ωx－)(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[－，]上为增函数，则ω的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D． B　解析：函数f(x)＝2sin (ωx－)(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象， 则g(x)＝2sin [ω(x＋)－]＝2sin ωx. 又因为y＝g(x)在[－，]上为增函数， 所以ω·(－)≥－，且ω·≤，解得ω≤2， 故ω的最大值为2. 11．设函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则(　　) A．函数f(x)的周期为 B．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 C．当x∈(，)时，f(x)的值域为(，1) D．函数f(x)在区间[－π，π]上的零点共有6个 D　解析：对于A，由题意，得＝，所以T＝，则ω＝＝3，所以f(x)＝sin (3x－)，故A不正确； 对于B，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数是g(x)＝sin [3(x＋)－]＝cos 3x，为偶函数，故B不正确； 对于C，当x∈(，)时，<3x－<， 所以f(x)的值域为(，1]，故C不正确； 对于D，令f(x)＝0，得x＝＋，k∈Z，所以当k＝－3，－2，－1，0，1，2时，x∈[－π，π]，所以函数f(x)在区间[－π，π]上的零点共有6个，故D正确． 12.(多选)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝2cos (2x－) B．满足f(x)>1的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z) C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴是x＝ D．函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称 ABD　解析：由题图可得f(x)max＝2，T＝2×(－)＝π，所以A＝2，ω＝2. 因为f(－)＝2sin (－×2＋φ)＝0， 所以－＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝2kπ＋，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝2sin (2x＋)＝2cos (2x－)，故A正确． 由f(x)＝2sin (2x＋)>1得sin (2x＋)>， 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 解得x∈(kπ，kπ＋)，k∈Z，故B正确． 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到的是函数y＝2sin [2(x－)＋]＝2sin 2x的图象，直线x＝不是其对称轴，故C错误． 因为f(－x)＝2sin (－2x＋)＝－2cos 2x＝g(x)，所以函数f(x)与g(x)＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称，故D正确． 13．(多选)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＋φ＝ B．f(－2)＝－ C．f(x)在区间(0，2 022)上存在506个零点 D．将f(x)的图象向右平移3个单位长度后，得到函数g(x)＝－cos (x)的图象 BD　解析：由题图知A＝1，＝3－1＝2，可得T＝8，即＝8，则ω＝，得f(x)＝sin (x＋φ)，则f(1)＝sin (＋φ)＝1，其中<＋φ<， 所以＋φ＝，即φ＝，得f(x)＝sin (x＋). 所以ω＋φ＝，故A不正确． f(－2)＝sin (－)＝－，故B正确． 由x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝4k－1，k∈Z.由x∈(0，2 022)，可得0<4k－1<2 022，即<k<，k∈Z，所以k＝1，2，…，505，f(x)在区间(0，2 022)上存在505个零点，故C不正确． 将f(x)的图象向右平移3个单位长度后得到g(x)＝f(x－3)＝sin (x－)＝－cos (x)的图象，故D正确． 14．将函数y＝3sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________． 答案：x＝－　解析：由y＝3sin [2(x－)＋]＝3sin (2x－)＝±3，得2x－＝＋kπ(k∈Z)， ∴x＝＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－. 15．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g()＝，则f()＝________． 答案：　解析：函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，所以f(0)＝0，代入可得φ＝0.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)，所以g(x)＝A sin ωx.又g(x)的最小正周期T＝2π， 则T＝＝2π，解得ω＝2，所以g(x)＝A sin x. 因为g()＝，所以A sin ＝，解得A＝2， 所以f(x)＝2sin 2x，则f()＝2sin (2×)＝. 16.已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式及对称中心； (2)先将f(x)的图象纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[， ]上的单调递减区间和最值． 解：(1)根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象， 可得A＝2，·＝＋，∴ω＝2. 再根据五点法作图，可得2×＋φ＝， ∴φ＝－，故有f(x)＝2sin (2x－). 根据图象可得(－，0)是函数f(x)图象的一个对称中心， 故函数f(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z. (2)先将f(x)的图象纵坐标缩短到原来的，可得y＝sin (2x－)的图象， 再向右平移个单位长度，得到y＝sin [2(x－)－]＝sin (2x－)＝－cos 2x的图象， 即g(x)＝－cos 2x. 令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ，k∈Z， 可得g(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ]，k∈Z， 结合x∈[，]，可得g(x)在[，]上的单调递减区间为[，]. 又2x∈[，]，故当2x＝π，即x＝时，g(x)取得最大值，即g(x)max＝1； 当2x＝，即x＝时，g(x)取得最小值，即g(x)min＝－. 分级三　素能创新 17．某病毒有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着数学模型为y＝B cos ωβ，y＝kβ＋b的某结构，人体肺部结构中包含数学模型为y＝A sin ωβ，y＝ln β的结构，新型冠状病毒肺炎是由它们“复合”引起的，表现为f(β).若函数f(β)＝a sin (1－β)＋ln β在(0，1)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．[1，＋∞) B　解析：f(β)＝a sin (1－β)＋ln β在(0，1)上单调递增，则f′(β)＝－a cos (1－β)＋≥0在(0，1)上恒成立． 因为0<β<1，所以0<1－β<1，所以cos (1－β)>0， 所以a≤在(0，1)上恒成立． 设k(β)＝βcos (1－β)(0<β<1)， 则k′(β)＝cos (1－β)＋βsin (1－β). 易知sin (1－β)>0， 所以k′(β)>0，故k(β)在(0，1)上单调递增． 令p(β)＝， 则p(β)在(0，1)上单调递减．又p(1)＝1，故a≤1， 即a的取值范围为(－∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$