分级练(26)　两角和与差及二倍角的三角函数公式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(26)　两角和与差及二倍角的三角函数公式 分级一　提能强化 1．已知cos α＝，0<α<，则sin (α＋)＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：由cos α＝，0<α<，得sin α＝，所以sin (α＋)＝sin α＋cos α＝×＋×＝. 2.如图，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P是角α终边上的一点，则cos 2α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　解析：由题意可得P(－1，2)，x＝－1，y＝2，r＝|OP|＝，故cos α＝＝＝－，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 3．已知sin(α＋)＝－，则sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：因为sin (α＋)＝－，所以sin 2α＝－cos (2α＋)＝2sin2(α＋)－1＝－. 4．已知cos(－α)＝2cos (α＋)，则sin (2α＋)＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　解析：∵cos (－α)＝cos [－(α＋)]＝sin (α＋)＝2cos (α＋)，∴tan (α＋)＝2，∴sin (2α＋)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝＝＝. 5．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(－，)，则sin(2α－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由题可得sin (α＋)＝，则sin (2α－)＝－cos [＋(2α－)]＝－cos (2α＋)＝2sin2(α＋)－1＝. 6．已知角θ的大小如图所示，则＝(　　) A．－5 B．5 C．－ D． A　解析：由题图可知，tan (θ＋)＝－5. 故＝ ＝＝ ＝＝＝tan (θ＋)＝－5. 7．若tan (α－β)＝，tan β＝2，则tan α＝________. 答案：－　解析：因为tan (α－β)＝，tan β＝2， 所以tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝－. 8．若＝，则cos 2α＝________． 答案：－　解析：由＝，可得tan (α－)＝，所以tan α＝tan (＋α－)＝＝＝2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－. 9．已知α∈(，)，sin(α－)＝，则sin α的值为________． 答案：　解析：∵α∈(，)，∴α－∈(，π).又sin (α－)＝，∴cos (α－)＝－，则sin α＝sin [(α－)＋]＝×＋(－)×＝. 10.如图，已知扇形AOB的半径为10，以O为原点建立平面直角坐标系，＝(10，0)，＝(6，8)，则的中点C的坐标为____________. 答案：(4，2)　解析：由题可得|OB|＝10，又由三角函数定义得cos ∠BOA＝＝， ∴2cos2∠COA－1＝cos∠BOA＝， ∴cos ∠COA＝＝.又sin2∠COA＋cos2∠COA＝1，∴sin∠COA＝，∴xC＝10cos ∠COA＝4，yC＝10sin ∠COA＝2，∴C点坐标为(4，2). 11．(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________． 答案：　　解析：因为α＋β＝，所以β＝－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin (－α)＝3sin α－cos α＝sin (α－φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝.所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin (＋φ＋2kπ)＝cos φ＝，k∈Z.因为sin β＝3sin α－＝－，所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝. 分级二　知能探究 12．已知sin(θ－)cos (π＋θ)＝cos 2θ，且sin θ≠0，则tan (θ＋)的值为(　　) A． B． C．2－ D．2＋ D　解析：∵sin (θ－)cos (π＋θ)＝cos 2θ， ∴(sin θcos －cos θsin )(－cos θ)＝cos2θ－sin2θ， 即(sinθ－cos θ)(－cos θ)＝(cos θ－sin θ)·(cos θ＋sin θ)，∴sin θ(cos θ－sin θ)＝0.又sin θ≠0，∴cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝1， ∴tan (θ＋)＝＝＝2＋. 13．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表．这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h tan θ.若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成角记θ1，θ2)，则tan (θ1＋θ2)＝________． 答案：－1　解析：由题意l＝h tan θ，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍时，tan θ1＝2，tan θ2＝3， 故tan (θ1＋θ2)＝＝＝－1. 14．已知函数f(x)＝(cos x－sin x)·sin －2a sin x＋b(a>0)有最大值1和最小值－4，求a，b的值． 解：f(x)＝(cos x－sin x)sin －2a sin x＋b ＝(cos2x－sin2x)－2a sinx＋b ＝(1－2sin2x)－2a sinx＋b ＝－(sin x＋a)2＋＋a2＋b. 当a≥1时，f(x)的最小值等于f，最大值等于f，依题意可得解得a＝，b＝－1. 当0<a<1时，依题意可得解得a＝－1(舍去)或a＝－－1(舍去). 综上可得a＝，b＝－1. 15．已知tan 20°＋4cos θ＝，求θ的值． 解：由题意4cos θ＝－tan 20°＝tan 60°－tan 20°＝－＝＝＝＝4sin 20°＝4cos 70°.因此θ＝k·360°±70°，k∈Z. 分级三　素能创新 16．已知数列{an}满足an＝，{an}的前n项的和记为Sn，则＝________. 答案：3　解析：an＝ ＝ ＝ ＝tan n°－tan (n－1)°＝－tan (n－1)°＋tan n°， ∴Sn＝(－tan 0°＋tan 1°)＋(－tan 1°＋tan 2°)＋(－tan 2°＋tan 3°)＋…＋[－tan (n－1)°＋tan n°] ＝tan n°， 因此，＝＝＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$