分级练(24)　任意角和弧度制及任意角的三角函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(24)　任意角和弧度制及任意角的三角函数 分级一　提能强化 1．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起就是一道靓丽的风景．有一天因停电导致钟表慢10 min，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是(　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：分针需要顺时针方向旋转60°，即弧度数为－. 2．已知角α终边上一点P(1，2)，把角α按逆时针方向旋转180°得到角θ，则sin θ＝(　　) A．－ B． C． D．－ D　解析：角α终边上一点P(1，2)，逆时针方向旋转 180°后，坐标为(－1，－2)，则sin θ＝＝－. 3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z C　解析：因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z. 4．已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　) A．(1，) B．(，1) C．(，) D．(1，1) D　解析：设P(x，y)，则cos α＝＝cos ，sin α＝＝sin ，∴x＝1，y＝1.∴P(1，1). 5．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步＝1.5 m)意思是现有扇形田，弧长为三十步，直径为十六步，那么扇形田的面积为(　　) A．135 m2 B．270 m2 C．540 m2 D．1 080 m2 B　解析：根据题意可知，扇形弧长l为45 m，半径r为12 m，扇形田的面积为S＝lr＝×45×12＝270(m2). 6．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　) A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D． CD　解析：由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0. 7．平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝(0＜α＜π)，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：由题意得sch α＝＝＝(0＜α＜π)，所以25(y－x)2＝x2＋y2，即24()2－50×＋24＝0，且y＞x，解得＝.故tan α＝. 8．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________． 答案：120°或－240°　解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z.因为－360°＜θ＜360°，令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 9．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________． 答案：2　解析：由已知tan α＝3，∴n＝3m.又m2＋n2＝10， ∴m2＝1.又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2. 10．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________． 答案：1　2　1　解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2. 分级二　知能探究 11．已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tan α的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D． B　解析：根据已知条件得tan α＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，tan α取得最小值2. 12.如图，在Rt△POB中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α rad，则＝________． 答案：　解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2.在Rt△POB中，PB＝r tan α，则Rt△POB的面积为r·r tan α，由题意得r·r tan α＝2×αr2，化简得tan α＝2α，则＝. 13.青铜太阳轮是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，该文物中央凸起，周围均匀分布了五个芒条，现将该太阳轮的中心记为点A，相邻的两个芒条与圆轮交于B，C两点，如图，某考古工作人员为了估计该太阳轮的圆轮周长，现测得B，C两点间的距离约为51 cm，则太阳轮的圆轮周长约为________cm.(参考数据：π≈3.14，sin ≈0.6) 答案：266.9　解析：连接AB，AC，BC(图略)，由题意得∠BAC＝，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC，BD＝25.5，从而AB＝，因此太阳轮的圆轮周长为2π·AB＝≈＝266.9(cm). 14．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为________rad；如果小轮的转速为180 r/min，大轮的半径为16 cm，则大轮周上一点每1 s转过的弧长为________cm. 答案：　54π　解析：小轮转动两周时，大轮转动的角度为×2π＝ (rad)；如果小轮的转速为180 r/min，则大轮每分钟转动的角度为180÷2×＝ (rad)；又大轮半径为16 cm，则大轮周上一点每1 s转过的弧长为×16÷60＝54π(cm). 15.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________． 答案：S1＝S2　解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，∴S1＝S2. 分级三　素能创新 16．密位制是度量角的一种方法．把1周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短横线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”.1周角等于6 000密位，记作1周角＝60—00，同理，1直角＝15—00.如果一个半径为2的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密位制表示为(　　) A．12—50 B．17—50 C．21—00 D．35—00 B　解析：设扇形所对的圆心角为α，α所对应的密位为n，则α·22＝π，所以α＝π，由题意可得＝，则n＝×6 000＝1 750，故该扇形的圆心角用密位制表示为17—50. 17．如图，单位圆Q的圆心初始位置在点(0，1)，圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为____________；当圆心Q位于点(3，1)时，点P的坐标为____________. 答案：(π，2)　(3－sin 3，1－cos 3)　解析：当点P第一次滚动到最高点时，点P向右滚动了圆的半个周长π，因此点P的坐标为(π，2). 当圆心Q位于Q′(3，1)时，作辅助线如图，＝3，则∠PQ′M＝3，点P的横坐标为3－sin (π－3)＝3－sin 3，纵坐标为1＋cos (π－3)＝1－cos 3. 所以点P的坐标为(3－sin 3，1－cos 3). 学科网（北京）股份有限公司 $$