分级练(19)　导数与函数的单调性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(19)　导数与函数的单调性 分级一　提能强化 1．函数f(x)＝x ln x＋1的单调递减区间是(　　) A．(0，) B．(0，e) C．(，＋∞) D．(e，＋∞) A　解析：令f′(x)＝1＋ln x＝0，得x＝.当x∈(0，)时，f′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 2．已知定义在[－3，4]上的函数f(x)的大致图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式xf′(x)>0的解集为(　　) A．(－2，－1)∪(1，) B．(－3，－2) C．(－1，0)∪(1，) D．(3，4) C　解析：若x<0，则f′(x)<0，f(x)单调递减，由图象可知x∈(－1，0)；若x>0，则f′(x)＞0，f(x)单调递增，由图象可知x∈(1，).故不等式xf′(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，). 3．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋2，则不等式f(2x＋4)≥2的解集是(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x≥－2} C．{x|x<－2} D．{x|x≤－2} B　解析：因为f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时等号成立，所以f(x)单调递增．又f(0)＝2，所以由f(2x＋4)≥2，得2x＋4≥0，解得x≥－2. 4．若函数f(x)＝kex－ln x在区间(1，e)上是增函数，则实数k的取值范围为(　　) A．(0，＋∞) B．[，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，－e] B　解析：当k≤0时，由于函数y＝ex，y＝ln x均为(1，e)上的单调递增函数，所以f(x)在区间(1，e)上是减函数(不符合题意)，舍去；当k>0时，f′(x)＝kex－≥0，即≤xex，令g(x)＝xex，有g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝xex在区间(1，e)上是增函数，≤g(x)min＝g(1)＝e，所以k≥. 5．已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．b>c>a D．a>b>c D　解析：令f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．因为a＝＝＝f(4)，b＝＝f(6)，c＝＝f(7)，所以f(4)>f(6)>f(7)，即a>b>c. 6．(多选)若函数f(x)，g(x)的导函数都存在，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<3x2，则f(2)g(2)－f(1)g(1)的值可能为(　　) A．9 B．8 C．6 D．5 CD　解析：由f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<3x2，得[f(x)g(x)]′<(x3)′.设函数h(x)＝f(x)·g(x)－x3，则h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)－3x2<0，所以h(x)单调递减，所以h(1)>h(2)，即f(1)g(1)－13>f(2)g(2)－23，则f(2)g(2)－f(1)g(1)<7.故f(2)g(2)－f(1)g(1)的值可能为5，6. 7．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________． 答案：(0，1)　解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝x－<0，得0<x<1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1). 8．已知函数f(x)＝x3－x的值域为[－，]，则f(x)的定义域可以是________．(写出一个符合条件的即可) 答案：[－1，1](答案不唯一)　解析：f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，所以当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，且f(－1)＝，f(1)＝－，由此可知定义域可以是[－1，1]. 9．已知函数f(x)＝x－(e为自然对数的底数)，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解：f(x)＝x－，则f′(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，记φ(x)＝ex＋ax－a， 则φ(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，φ′(x)＝ex＋a. ①当a≥－1时，φ′(x)＝ex＋a>1＋a≥0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝1－a≥0， ∴－1≤a≤1. ②当a<－1时，令φ′(x)＝ex＋a＝0， 解得x＝ln (－a)， 当0<x<ln (－a)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，ln (－a))上单调递减，当x>ln (－a)时，φ′(x)>0，φ(x)在(ln (－a)，＋∞)上单调递增． ∴φ(x)≥φ(ln (－a))＝－2a＋a ln (－a)≥0， 解得－e2≤a<－1. 综上，可得实数a的取值范围为[－e2，1]. 分级二　知能探究 10．已知函数y＝在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是(　　) A　解析：∵函数y＝在其定义域上单调递减，∴[]′＝≤0在定义域上恒成立，且不恒为0，即f(x)≥f′(x)恒成立．结合图象及导数的几何意义知A正确． 11．已知函数f(x)＝x sin x，x1，x2∈(－，)，且f(x1)＜f(x2)，那么(　　) A．x1－x2＞0 B．x1＋x2＞0 C．x－x＞0 D．x－x＜0 D　解析：由f(x)＝x sin x，得f′(x)＝sin x＋x cos x＝cos x(tan x＋x)，当x∈(0，)时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，)上为增函数．因为f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以当f(x1)＜f(x2)时，有f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＜|x2|，故x－x＜0. 12．已知a＝ln ，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．a>c>b C．a>b>c D．b>a>c D　解析：依题意，得a＝ln ＝，b＝e－1＝，c＝＝.令f(x)＝，则f′(x)＝，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．所以f(x)max＝f(e)＝＝b，且f(3)＞f(8)，即a＞c，所以b＞a＞c. 13．若函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0，2)上单调递增，则实数a的取值范围为____________. 答案：[2，＋∞)　解析：f(x)＝－x3＋ax2＋4x，则f′(x)＝－3x2＋2ax＋4.若f(x)在区间(0，2)上单调递增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0，2)上恒成立，即a≥－在(0，2)上恒成立．令g(x)＝－，x∈(0，2)，则g′(x)＝＋＞0，g(x)在(0，2)上单调递增，故g(x)＜g(2)＝2，故a≥2，故实数a的取值范围为[2，＋∞). 14．已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－2，3)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)＝ex－a>0，即f(x)在R上单调递增； 若a>0，令ex－a≥0，解得x≥ln a，即f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增． 因此当a≤0时，f(x)的单调递增区间为R，当a>0时，f(x)的单调递增区间是[ln a，＋∞). (2)存在实数a满足条件． 理由如下：因为f′(x)＝ex－a≤0在(－2，3)上恒成立，所以a≥ex在(－2，3)上恒成立． 又因为－2<x<3，所以e－2<ex<e3，要使a≥ex在(－2，3)上恒成立，只需a≥e3. 当a＝e3时，在(－2，3)上f′(x)＝ex－e3<0，即f(x)在(－2，3)上单调递减，所以a≥e3. 故存在实数a∈[e3，＋∞)，使f(x)在(－2，3)上单调递减． 15．已知f(x)＝ax－，g(x)＝ln x，x＞0，a∈R是常数． (1)求函数y＝g(x)的图象在点P(1，g(1))处的切线方程； (2)设F(x)＝f(x)－g(x)，讨论函数F(x)的单调性． 解：(1)因为g(x)＝ln x(x＞0)，所以g(1)＝0，g′(x)＝，g′(1)＝1， 故函数g(x)的图象在P(1，g(1))处的切线方程是y＝x－1. (2)因为F(x)＝f(x)－g(x)＝ax－－ln x(x＞0)，所以F′(x)＝a＋－＝a＋(－)2－. ①当a≥时，F′(x)≥0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a＝0时，F′(x)＝，F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ③当0＜a＜时，由F′(x)＝0，得x1＝＞0，x2＝＞0，且x2＞x1， 故F(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减； ④当a＜0时，由F′(x)＝0，得x1＝＞0，x2＝＜0， 故F(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 综上，当a≥时，F(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＝0时，F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a<时，F(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减； 当a<0时，F(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减． 分级三　素能创新 16．某地区为落实乡村振兴战略，带领人们致富，引入一种特色农产品种植．该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为f(t)＝t(t－3)2＋n(0≤t≤5，其中t＝0表示5月1日，t＝1表示6月1日，以此类推).若f(2)＝6，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为(　　) A．5月和6月 B．6月和7月 C．7月和8月 D．8月和9月 B　解析：由f(2)＝2＋n＝6，解得n＝4，所以f(t)＝t(t－3)2＋4，t∈[0，5]，则f′(t)＝(t－3)2＋2t(t－3)＝3(t－1)(t－3)，则t∈[0，1)时，f(t)单调递增；t∈(1，3)时，f(t)单调递减；t∈(3，5]时，f(t)单调递增．则t＝1和2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月． 学科网（北京）股份有限公司 $$