分级练(18)　导数的概念及运算（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(18)　导数的概念及运算 分级一　提能强化 1．已知f(x)＝，则f′(x)＝(　　) A． B．2 C． D． D　解析：f(x)＝＝(x＋4)，则f′(x)＝(x＋4)－＝. 2．已知函数f(x)＝x3－2x＋2f′(2)，其中f′(x)是f(x)的导函数，则f(2)＝(　　) A．12 B．20 C．10 D．24 D　解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故f(2)＝8－4＋20＝24. 3．函数f(x)＝x3－ln x＋2图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A．y＝2x B．y＝4x－1 C．y＝2x＋1 D．y＝4x－2 C　解析：由题意可得f′(x)＝3x2－，则f′(1)＝2.又f(1)＝3，则所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 4．若P为函数f(x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f(x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，) B．(，) C．(，π) D．[0，)∪(，π) D　解析：设点P的坐标为(x0，y0).由f(x)＝ex－x，x∈R，得f′(x)＝ex－，则以P为切点的切线斜率为ex0－>－，令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－，则θ∈[0，)∪(，π). 5．已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 A　解析：设切点为(x0，y0).易知y′＝ex＋a，则解得 6．(多选)已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 AC　解析：因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确．令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误．因为点(0，1)在曲线上，所以点(0，1)是切点，则f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确．设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0).因为点(0，0)在切线上，所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(1，e)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误． 7．函数f(x)＝x·ln x在x＝e处的切线方程为________． 答案：y＝2x－e　解析：因为f(x)＝x·ln x，则f(e)＝e·ln e＝e，f′(x)＝ln x＋1，所以f′(e)＝ln e＋1＝2，所以函数f(x)＝x·ln x在x＝e处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e. 8．曲线y＝ax2＋ln x在点(1，a)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝________． 答案：　解析：由y＝ax2＋ln x，得y′＝2ax＋.因为曲线y＝ax2＋ln x在点(1，a)处的切线与直线y＝2x平行，所以2a＋1＝2，解得a＝. 9．设g(x)＝f′(x)，则满足g′(x)在R上恒正的f(x)是__________．(填写序号) ①f(x)＝x4＋x2；②f(x)＝sin x＋2；③f(x)＝ex；④f(x)＝－ln (1＋x). 答案：①③　解析：对于①，f(x)＝x4＋x2，则g(x)＝f′(x)＝4x3＋2x，故g′(x)＝12x2＋2≥2>0在R上恒成立，①成立；对于②，f(x)＝sin x＋2，则g(x)＝f′(x)＝cos x，故g′(x)＝－sin x≤0在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上恒成立，g′(x)＝－sin x>0在(2kπ－π，2kπ)(k∈Z)上恒成立，②不成立；对于③，f(x)＝ex，则g(x)＝f′(x)＝ex，故g′(x)＝ex>0在R上恒成立，③成立；对于④，由1＋x>0，解得x>－1，故f(x)＝－ln (1＋x)的定义域为(－1，＋∞)，则g(x)＝f′(x)＝－，故g′(x)＝>0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，④不成立． 分级二　知能探究 10．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B．[－，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，＋∞) D　解析：f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞). 11．已知函数f(x)＝，且f′(1)＝1，则a＝________，曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为________________． 答案：0　y＝　解析：由f(x)＝，得f′(x)＝.因为f′(1)＝1，即＝1，解得a＝0，所以f(x)＝，f′(x)＝，所以f(e)＝，f′(e)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为y＝. 12．写出曲线y＝ex的一条切线方程为____________. 答案：y＝x＋1(答案不唯一)　解析：设曲线y＝ex任意一点处的坐标为(x0，ex0)，由y＝ex可得y′＝ex，则该曲线在点(x0，ex0)处的切线斜率为k＝ex0，所以在该点处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，不妨取x0＝0，则y＝x＋1. 13．已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，2ln 2－2)　解析：由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为两条曲线的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，有Δ＝k2＋4b＝0.① 对y＝ex＋a求导可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，k ln k－ak＋b)， 代入y＝ex＋a可得k＝k ln k－ak＋b.② 联立①②可得k2＋4k＋4ak－4k ln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0<k<4，令g′(k)<0，得k>4.∴g(k)在(0，4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g(k)max＝g(4)＝4ln 4－4.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2. 分级三　素能创新 14．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算 ln 2 025－ln 2 024≈________． 答案：y＝x　　解析：函数f(x)＝ln (1＋x)，则f′(x)＝，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x.∴ln 2 025－ln 2 024＝ln (1＋)＝f()，根据“以直代曲”，x＝也非常接近切点x＝0，∴可以将x＝代入切线近似代替f()，即f()≈，即ln 2 025－ln 2 024≈. 学科网（北京）股份有限公司 $$