分级练(17)　函数模型及其应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(17)　函数模型及其应用 分级一　提能强化 1．上高中的小明为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩在200～250平方步之间，则这块田地的亩数是(　　) A． B．1 C． D．2 B　解析：总的面积为15×16＝240(平方步).因为一亩约在200～250平方步之间，所以转化为亩数为[，]之间，即[，]之间，对照四个选项，只有B正确． 2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) B　解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D.一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B. 3．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718 28…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h，在22 ℃的保鲜时间是48 h，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　) A．16 h B．20 h C．24 h D．28 h C　解析：由题意，得即于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝()3×192＝24. 4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗约10 L汽油 C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D　解析：对于A，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油行驶的里程都超过了5 km，所以A错误；对于B，甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h消耗约8 L汽油，所以B错误；对于C，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错误；对于D，机动车最高限速80 km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确． 5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速(单位：m/s)可以表示为v＝log3，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为(　　) A．2 600 B．2 700 C．26 D．27 D　解析：当一条鲑鱼静止时，v＝0，此时0＝log3，则＝1，即耗氧量为Q0＝100；当一条鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时，v＝1.5，此时1.5＝log3，则＝27，即耗氧量为Q＝2 700.因此鲑鱼以1.5 m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为＝27. 6．地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通过地震面波质点运动最大值(A/T)max进行测定，计算公式如下：M＝lg (A/T)max＋1.66lg Δ＋3.5(其中Δ为震中距).若某地发生6.0级地震，测得(A/T)max＝0.001，则可以判断(参考数据：20.313≈1.24，50.313≈1.65)(　　) A．震中距在2 000～2 020之间 B．震中距在2 040～2 060之间 C．震中距在2 070～2 090之间 D．震中距在1 040～1 060之间 B　解析：依题意，得6.0＝lg 0.001＋1.66lg Δ＋3.5，则lg Δ＝≈3.313，故Δ≈103.313＝103×20.313×50.313≈1 000×1.24×1.65＝2 046.故B正确． 7．如图，某中学欲利用原有的墙(墙足够长)为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室．房屋地面面积为18 m2，高度为3 m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1 000元，屋顶的造价为6 000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为(　　) A．40 000元 B．42 000元 C．45 000元 D．48 000元 B　解析：设房屋的长为x m，则宽为 m，则总造价y＝6 000＋1 000×(3x＋×3×2)，∴y＝6 000＋3 000×(x＋)≥6 000＋3 000×2＝42 000，当且仅当x＝，即x＝6时等号成立．故当房屋的长等于6 m，宽等于3 m时，房屋的总造价最低，最低总造价为42 000元． 8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f(n)表示前n年的纯利润，则从第________年开始盈利．(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总费用支出－投资额) 答案：5　解析：由题意可知，f(n)＝26n－[8n＋×2]－60＝－n2＋19n－60.令f(n)>0，即－n2＋19n－60>0，解得4<n<15，所以从第5年开始盈利． 9．某厂有一个容量300 t的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10 t，生产用水总量W(单位：t)与时间t(单位：h，规定早晨六点时t＝0)的函数关系为W＝100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10 t，以后每提高一级，进水量增加10 t．若某天水塔原有水100 t，在供应时同时打开进水管，问该天进水量应选择第几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？ 解：设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水量y等于水塔中的存水量100 t加上进水量10nt t，减去生活用水10t t，再减去生产用水W＝100 t，即y＝100＋10nt－10t－100(0<t≤16).若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y≤300，即0<100＋10nt－10t－100≤300，所以－＋＋1<n≤＋＋1对t∈(0，16]恒成立．因为－＋＋1＝－10(－)2＋≤，＋＋1＝20(＋)2－≥，所以<n≤，即n＝4.故进水量应选择第4级． 分级二　知能探究 10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站(　　) A．4 km处 B．5 km处 C．6 km处 D．7 km处 B　解析：由题意可设y1＝，y2＝k2x(x为仓库与车站距离)，∴k1＝xy1，k2＝，把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入，可得k1＝20，k2＝0.8，∴y1＝，y2＝0.8x，费用之和y＝y1＋y2＝＋0.8x≥2×4＝8，当且仅当＝0.8x，即x＝5时等号成立．故当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小． 11．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t，x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝要使每吨的平均处理成本最少，每月处理量为(　　) A.120 t B．200 t C．240 t D．400 t D　解析：由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S＝当x∈[120，144)时，S＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，则当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，此时S取得最小值200.综上，当每月处理量为400 t时，每吨的平均处理成本最低． 分级三　素能创新 12．折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长10 cm、宽8 cm的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1，S2.若S1∶S2＝1∶3，则折痕长的最大值为(　　) A． cm B．10 cm C．2 cm D．2 cm C　解析：由题意得，长方形纸片的面积为10×8＝80(cm2).又S1∶S2＝1∶3，∴S1＝20 cm2，S2＝60 cm2. ①当折痕如图①所示时， 设AE＝x，AF＝y，则得 ∴EF2＝x2＋y2＝x2＋，令t＝x2∈[25，100]，f(t)＝t＋(25≤t≤100).∵f(t)在(25，40)上单调递减，在(40，100)上单调递增， 又f(25)＝25＋64＝89，f(100)＝100＋16＝116，f(40)＝40＋40＝80，∴f(t)∈[80，116]，∴EF∈[4，2]. ②当折痕如图②所示时，设AE＝x，DF＝y，则得∴EF2＝(x－y)2＋64＝(2x－5)2＋64， 令g(x)＝(2x－5)2＋64(0≤x≤5)，则g(x)在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增， 又g(0)＝25＋64＝89，g()＝64，g(5)＝25＋64＝89， ∴g(x)∈[64，89]，∴EF∈[8，]. ③当折痕如图③所示时， 设AF＝x，BE＝y， 则得 ∴EF2＝(x－y)2＋100＝(2x－4)2＋100， 令h(x)＝(2x－4)2＋100(0≤x≤4)，则h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)上单调递增， 又h(0)＝16＋100＝116，h(2)＝100，h(4)＝16＋100＝116，∴h(x)∈[100，116]，∴EF∈[10，2]. 综上所述，折痕长的取值范围为[8，2]，∴折痕长的最大值为2 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$