分级练(11)　二次函数与幂函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(11)　二次函数与幂函数 分级一　提能强化 1．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　) A．1或3 B．1 C．3 D．2 B　解析：由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1. 2．(多选)已知点(a，)在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是(　　) A．奇函数 B．(0，＋∞)上的增函数 C．偶函数 D．(0，＋∞)上的减函数 AD　解析：由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2，且b＝－1，故f(x)＝x－1是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数． 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 D　解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0.综上可得，－1<n<0<m<1. 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) D　解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c＜0，所以排除B. 5．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3，0) ABD　解析：由已知得所以b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2).其余选项经验证可得． 6．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　) A．{0，－3} B．[－3，0] C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0，3} A　解析：∵函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，解得m＝－3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，－3}． 7．若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________． 答案：[2，＋∞)　解析：依题意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，所以4ab＝1，且b>0.故a＋4b≥2＝2，当且仅当a＝4b，即a＝1，b＝时等号成立．所以a＋4b的取值范围是[2，＋∞). 8．已知幂函数f(x)＝()，若f(a－1)<f(8－2a)，则a的取值范围是________． 答案：(3，4)　解析：由幂函数f(x)＝()＝x－，可得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且是减函数．由f(a－1)<f(8－2a)，可得解得3<a<4，即实数a的取值范围为(3，4). 9．是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2].若存在，求a的值；若不存在，请说明理由． 解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2. 当－2≤a<－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数， ∴由得a＝－1(舍去)； 当－1≤a≤0时，由得a＝－1； 当0<a≤1时，由得a不存在． 综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1. 分级二　知能探究 10．若幂函数y＝x|m－1|与y＝x3m－m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为(　　) A．0 B．1和2 C．2 D．0和3 C　解析：由题意可得解得m＝2. 11．已知点(2，)在幂函数f(x)＝xn的图象上，设a＝f()，b＝f(ln π)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b C　解析：因为点(2，)在函数f(x)的图象上，所以＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x－3，易知当x>0时，f(x)单调递减．因为<<1，ln π>ln e＝1，所以f()>f()>f(ln π)，即a>c>b. 12．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________． 答案：[0，4]　解析：由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4. 13．函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0.请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可) 答案：f(x)＝x2－4x＋5　解析：由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式f(x)＝(x－2)2＋1.此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②；因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，满足③；又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①. 14．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，求实数m的取值范围． 解：因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足解得－<m<0. 15．求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1，1]上的最大值． 解：函数f(x)＝－(x－)2＋的图象的对称轴为x＝，应分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三种情形讨论． ①当a＜－2时，由图①可知f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1). ②当－2≤a≤2时，由图②可知f(x)在[－1，1]上的最大值为f()＝. ③当a＞2时，由图③可知f(x)在[－1，1]上的最大值为f(1)＝a－1. 综上可知，f(x)max＝ 分级三　素能创新 16．如图，正方形OABC的边长为a(a>1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x－的图象交BC于点P，求当|AQ|＋|CP|取得最小值时a的值． 解：依题意得Q，P(a，)，则|AQ|＋|CP|＝＋＝＋，记＝t(t>1)，则f(t)＝＋≥2，当且仅当＝，即t2＝时等号成立，此时a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$