分级练(10)　函数性质的综合问题（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(10)　函数性质的综合问题

分级一　提能强化

1．已知函数f(x)＝，则(　　)

A．函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．函数f(x)非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增

A　解析：由题意得函数f(x)的定义域为R，－f(－x)＝－＝－＝＝f(x)，故f(x)是奇函数．由f(x)＝＝1－，令g(x)＝－，则g′(x)＝>0在R上恒成立，所以函数g(x)在R上单调递增，由复合函数单调性可知f(x)在R上单调递增．

2．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　)

A．(0，e2)     B．(e－2，＋∞)

C．(e2，＋∞)     D．(e－2，e2)

D　解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，

即－2<ln x<2，

解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2).

3．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)>0的解集为(　　)

A．(0，1)

B．(－3，0)

C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

C　解析：函数f(x)＝2x－2－x定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，在R上是增函数，f(2x)＋f(x2－x)>0⇔f(x2－x)>f(－2x)，于是得x2－x>－2x，解得x<－1或x>0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞).

4．设f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　)

A．{x|x>1}

B．{x|－1<x<0}

C．{x|x<－1或x>1}

D．{x|－1<x<0或x>1}

C　解析：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1是增函数．

又f(x)为偶函数，故可以作出f(x)的图象如图所示．

f(x)>0⇒f(x)>f(1)或f(x)>f(－1)，根据奇偶性和单调性可知使f(x)>0的x的取值范围为{x|x<－1或x>1}．

5．已知函数y＝f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，则(　　)

A．f(－3)＝0     B．f(－1)＝0

C．f(0)＝0     D．f(2)＝0

A　解析：依题意知函数y＝f(2x＋1)是定义在R上的奇函数，所以f(2×0＋1)＝f(1)＝0.又因为图象关于直线x＝1对称，所以f(－3)＝f(2×(－2)＋1)＝－f(2×2＋1)＝－f(2×0＋1)＝－f(1)＝0，f(－1)，f(0)，f(2)的函数值无法确定．

6．设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1，0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　)

A．f()<f()<f(1)

B．f(1)<f()<f()

C．f(1)<f()<f()

D．f()<f(1)<f()

A　解析：∵f(x)为奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，∴f()＝－f(－)，f(1)＝－f(－1)，f()＝f(－＋2)＝－f(－).又－1<－<－<0，且函数在区间[－1，0)上是增函数，∴f(－1)<f(－)<f(－)<0，∴－f(－1)>－f(－)>－f(－)，∴f(1)>f()>f().

7．若f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，)上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)＝____________．(写出符合条件的一个即可)

答案：－x2(答案不唯一)　解析：若f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，故f(x)为偶函数，且易知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故f(x)在(0，)上单调递减，符合条件．

8．写出一个同时具有下列性质①②的函数：f(x)＝________.

①f(m＋n)＝f(m)f(n)；②f′(x)<f(x).

答案：e－x(答案不唯一)　解析：依题意令f(x)＝e－x.

则f(m＋n)＝e－(m＋n)＝e－m－n，

f(m)＝e－m，f(n)＝e－n，

所以f(m)f(n)＝e－m·e－n＝e－m－n＝f(m＋n)，故满足①.

又f′(x)＝－e－x，则f′(x)＝－e－x<e－x＝f(x)，即满足②.

9．偶函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，若f(4)＝2，则f(－2)＝________．

答案：2　解析：方法一　由函数f(x)为偶函数，得f(－2)＝f(2).由函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(2)＝f(4)＝2，则f(－2)＝2.

方法二　由函数f(x)为偶函数及函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3，得f(x)的周期T＝2×|3－0|＝6，则由周期性，得f(－2)＝f(4)＝2.

10．已知函数f(x)＝1－为奇函数，则函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为________.

答案：　解析：函数f(x)＝1－的定义域为R，由函数f(x)＝1－为奇函数，得f(x)＋f(－x)＝0，即1－＋1－＝0，解得m＝2，所以f(x)＝1－.又当x∈[0，1] 时，若x增加，则导致5x＋1增加，从而－增加，所以f(x)的值增加，所以函数f(x)在区间[0，1]上是增函数，函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为f(1)＝1－＝.

分级二　知能探究

11．(多选)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论正确的是(　　)

A．y＝|f(x)|是偶函数

B．对任意x∈R都有f(－x)＋|f(x)|＝0

C．y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递增

D．y＝f(x)f(－x)在(－∞，0]上单调递增