分级练(6)　一元二次不等式恒(能)成立问题（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(6)　一元二次不等式恒(能)成立问题

分级一　提能强化

1．若命题“∀x∈R，x2＋(1－k)x＋1≥0”是真命题，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]∪[3，＋∞)

B．(－3，1)

C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

D．[－1，3]

D　解析：由题意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3.

2．若存在实数x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　)

A．(13，＋∞)     B．(5，＋∞)

C．(4，＋∞)     D．(－∞，13)

B　解析：m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，则当x＝2时，f(x)min＝5.∵∃x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.

3．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥9     B．a≥11

C．a≥8     D．a≤9

B　解析：∀x∈[1，3]，x2－a≤0是真命题，则a≥(x2)max，故a≥9.∵[11，＋∞)[9，＋∞)，∴a≥11是此命题为真命题的充分不必要条件．

4．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)     B．[0，＋∞)

C．[1，＋∞)     D．R

C　解析：函数y＝的定义域为R等价于kx2－2x＋1≥0恒成立，当k＝0时，显然不恒成立；当k≠0时，由k>0，Δ＝4－4k≤0，得k≥1.综上，实数k的取值范围为[1，＋∞).

5．若命题“∃x∈[1，3]，x2＋ax＋1>0”是假命题，则实数a的最大值为________．

答案：－　解析：由题知命题的否定“∀x∈[1，3]，x2＋ax＋1≤0”是真命题．令f(x)＝x2＋ax＋1(x∈[1，3])，则解得a≤－，故实数a的最大值为－.

6．若∃x∈R，ax2＋ax＋a－3<0，则a的一个可取的正整数值为__________.

答案：1(或2，3)　解析：由题意得Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为1(也可取2，3).