分级练(5)　一元二次方程和一元二次不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(5)　一元二次方程和一元二次不等式 分级一　提能强化 1．已知集合A＝{x∈N|0<x<4}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝(　　) A．[0，2] B．[1，2] C．{1，2} D．{0，1，2} C　解析：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|0≤x≤2}， ∴A∩B＝{1，2}． 2．已知集合A＝{x|(x＋1)(3－x)<0}，B＝，则(∁RA)∩B＝(　　) A．[－1，0]∪[1，3] B．[－1，0)∪[1，3] C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[1，3] B　解析：由(x＋1)(3－x)<0，即(x＋1)(x－3)>0， 解得x<－1或x>3，即A＝{x|x<－1或x>3}． 由≤1，可得1－＝≥0，解得x<0或x≥1，即B＝{x|x<0或x≥1}． 可得∁RA＝{x|－1≤x≤3}，所以(∁RA)∩B＝[－1，0)∪[1，3]. 3．若0<a<1，则不等式(a－x)(x－)>0的解集是____________． 答案：　解析：原不等式等价于(x－a)(x－)<0，由0<a<1，得a<，∴a<x<. 4．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________． 答案：(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)　解析：因为不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，所以解集中只有－5在集合A中． 5．已知命题“∀x∈[1，4]，ax≤2x2＋6”为真命题，则实数a的最大值是________． 答案：4　解析：由题意，∀x∈[1，4]，a≤2(x＋)恒成立．因为x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝时等号成立，所以a≤4，即a的最大值是4. 分级二　知能探究 6．若关于x的不等式>0的解集是(－1，2)，则a·b＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 B　解析：因为sin x－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集为(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2，由根与系数的关系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故a·b＝2. 7．已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为________________________. 答案：(－，)∪　解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，∴a＋2＝0，得a＝－2， ∴f(x)＝－2x2＋4， ∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或即或 解得－<x<或x>2. 故原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞). 分级三　素能创新 8．三名同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路． 甲说：“可视x为变量，y为常量来分析．” 乙说：“寻找x与y的关系，再做分析．” 丙说：“把字母a单独放在一边，再做分析．” 参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1，4) D．[－1，6] B　解析：选择用丙的方法．因为xy≤ax2＋2y2，x∈[1，2]，y∈[2，3]，所以xy－2y2≤ax2，等价于≤a，即－2()2≤a.令＝t，则t∈[1，3].原式化为t－2t2≤a，对于任意t∈[1，3]恒成立． 因为t－2t2＝－2(t－)2＋，所以当t＝1时，(t－2t2)max＝－1.所以－1≤a，即a∈[－1，＋∞). 9．若函数f(x)满足对任意的x∈[n，m](n＜m)，都有≤f(x)≤km成立，则称函数f(x)在区间[n，m](n＜m)上是“被k约束的”．若函数f(x)＝x2－ax＋a2在区间[，a](a＞0)上是“被2约束的”，求实数a的取值范围． 解：由题意得≤x2－ax＋a2≤2a对任意的x∈[，a](a＞0)都成立．由a＞且a>0，得a＞1，则f()＝－1＋a2＞2－1＝1＞恒成立．由f(a)＝a2－a2＋a2＝a2≤2a，且a>1，得1<a≤2.因为a＞1，所以f()＝－1＋a2＜1－1＋a2＝a2.f(x)＝x2－ax＋a2图象的对称轴为直线x＝.由f()＝≥得a≥.因为＜1，所以a的取值范围为(1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$