分级练(4)　基本不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(4)　基本不等式 分级一　提能强化 1．已知f(x)＝，则f(x)在[，3]上的最小值为(　　) A． B． C．－1 D．0 D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．又1∈[，3]，所以f(x)在[，3]上的最小值是0. 2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8. 3．若实数x，y满足：x，y>0，3xy－x－y－1＝0，则xy的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：因为3xy－x－y－1＝0，所以3xy－1＝x＋y，由基本不等式可得3xy－1＝x＋y≥2，故3xy－2－1≥0，解得≥1或≤－(舍去)，即xy≥1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故xy的最小值为1. 4．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　) A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0<x<) C．y＝ D．y＝ex＋－2 D　解析：对于A，当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意；对于B，由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意；对于C，函数的关系式可转化为y＝＝＋≥2，但＝无实数解，即等号不成立，故C不合题意；对于D，y≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即x＝ln 2时等号成立，故D正确． 5．(多选)已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则(　　) A．xy的最小值是1 B．x2＋y2的最小值是 C．2x＋4y的最小值是4 D．＋的最小值是5 BC　解析：由已知，得x＋2y＝2≥2，则xy≤，当且仅当x＝2y＝1时等号成立，所以xy的最大值是，所以A错误；x2＋y2＝(2－2y)2＋y2＝5(y－)2＋≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以x2＋y2的最小值是，所以B正确；2x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝2y＝1时等号成立，所以2x＋4y的最小值是4，所以C正确；＋＝(＋)(x＋2y)＝[5＋2(＋)]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以＋的最小值是，所以D错误． 6．已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________． 答案：3　解析：由题设，＋≥2 ＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立． 所以＋的最小值为3. 分级二　知能探究 7．已知实数a，b满足a＋b＝ab(a>1，b>1)，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值为(　　) A．2 B．1 C．4 D．5 A　解析：由a＋b＝ab(a>1，b>1)得a＋b－ab－1＝－1，因式分解得(a－1)(b－1)＝1，则(a－1)2＋(b－1)2≥2(a－1)(b－1)＝2，当且仅当a＝b＝2时取得最小值． 8．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π B　解析：设底面圆半径为r，则圆柱的高为2，圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π×＝8π，当且仅当r＝，即r＝时等号成立． 9．(多选)已知a>0，b>0，且4a＋b＝2，则(　　) A．ab的最大值为 B．2＋的最大值为2 C．＋的最小值为6 D．4a＋2b的最小值为4 BC　解析：对于A，因为2＝4a＋b≥2＝4，所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故A错误；对于B，因为4a＋b≥4，所以8a＋2b≥4＋4a＋b＝(2＋)2，即(2＋)2≤4，则2＋≤2，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确；对于C，由4a＋b＝2得a＝－，所以＋＝＋－，因为＋＝(＋)(4a＋b)＝·(＋＋)≥(＋2)＝，所以＋＝＋－≥－＝6，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，令a＝，b＝，则4a＋2b＝4＋2＝2×4<4，所以4a＋2b的最小值不是4，故D错误． 10．已知x>0，y>0，x＋＝4y－y2，则x＋＝________. 答案：3　解析：因为x>0，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，所以4y－y2＝x＋≥4，即(y－2)2≤0，得y＝2，所以x＋＝4，即x＝2，所以x＋＝2＋＝3. 11．一批货物分别随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市，已知两地间铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于 km，则将这批货物全部运到B市，最快需要________h. 答案：8　解析：设将这批货物从A市全部运到B市需t h， 则t＝＝＋≥2＝8， 当且仅当＝，即v＝100时等号成立， 所以将这批货物全部运到B市，最快需要8 h． 分级三　素能创新 12．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5 g的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20 g的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品(　　) A．大于20 g B．小于20 g C．大于或等于20 g D．小于或等于20 g C　解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理，得5a＝bx，ay＝20b，于是x＝，y＝，故x＋y＝＋≥2＝20，当且仅当a＝2b时等号成立． 13．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为________________. 答案：a2＋b2＝1　解析：该等式为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．＋＝(＋)(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时等号成立，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$