分级练(4)　基本不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(4)　基本不等式

分级一　提能强化

1．已知f(x)＝，则f(x)在[，3]上的最小值为(　　)

A．    B．    C．－1    D．0

D　解析：f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．又1∈[，3]，所以f(x)在[，3]上的最小值是0.

2．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　)

A．6    B．8    C．4    D．16

B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8.

3．若实数x，y满足：x，y>0，3xy－x－y－1＝0，则xy的最小值为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

A　解析：因为3xy－x－y－1＝0，所以3xy－1＝x＋y，由基本不等式可得3xy－1＝x＋y≥2，故3xy－2－1≥0，解得≥1或≤－(舍去)，即xy≥1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故xy的最小值为1.

4．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)

A．y＝x＋

B．y＝sin x＋(0<x<)

C．y＝

D．y＝ex＋－2

D　解析：对于A，当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当x<0时，y＝x＋≤－2，故A不合题意；对于B，由于0<x<，因此0<sin x<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意；对于C，函数的关系式可转化为y＝＝＋≥2，但＝无实

数解，即等号不成立，故C不合题意；对于D，y≥2－2＝2，当且仅当ex＝，即x＝ln 2时等号成立，故D正确．

5．(多选)已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则(　　)

A．xy的最小值是1

B．x2＋y2的最小值是

C．2x＋4y的最小值是4

D．＋的最小值是5

BC　解析：由已知，得x＋2y＝2≥2，则xy≤，当且仅当x＝2y＝1时等号成立，所以xy的最大值是，所以A错误；x2＋y2＝(2－2y)2＋y2＝5(y－)2＋≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以x2＋y2的最小值是，所以B正确；2x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝2y＝1时等号成立，所以2x＋4y的最小值是4，所以C正确；＋＝(＋)(x＋2y)＝[5＋2(＋)]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以＋的最小值是，所以D错误．

6．已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为________．

答案：3　解析：由题设，＋≥2 ＝＝3，当且仅当b＝9a＝6时等号成立．

所以＋的最小值为3.

分级二　知能探究

7．已知实数a，b满足a＋b＝ab(a>1，b>1)，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值为(　　)

A．2    B．1    C．4    D．5

A　解析：由a＋b＝ab(a>1，b>1)得a＋b－ab－1＝－1，因式分解得(a－1)(b－1)＝1，则(a－1)2＋(b－1)2≥2(a－1)(b－1)＝2，当且仅当a＝b＝2时取得最小值．

8．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　)

A．4π    B．8π    C．12π    D．16π