第2章 第7节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第七节　函数模型及其应用

知识点一　几类函数模型

知识点二　三种函数模型的性质

对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．当x＞0时，x＝时取最小值2；当x＜0时，x＝－时取最大值－2.

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　×　　)

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　×　　)

(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　×　　)

(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　×　　)

二、版本互鉴

1．(苏教版必修第一册P222例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)

A．f(x)＞g(x)＞h(x)

B．g(x)＞f(x)＞h(x)

C．g(x)＞h(x)＞f(x)

D．f(x)＞h(x)＞g(x)

答案：B

2．(湘教版必修第一册P148 T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48.从数量级的角度考虑，则约为______．

答案：1093

3．(人教A版必修第一册P96 T3改编)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按3元/m3收费；用水超过10 m3的，超过的部分按5元/m3收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水________m3.

答案：15

4．(人教A版必修第一册P161 T10改编)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1 ℃，空气的温度是θ0 ℃，那么t min后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是38 ℃，则k的值约为(参考数据：ln 3≈1.10，ln 7≈1.95)________．

答案：0.25

考点   利用已知函数模型解决实际问题(自悟通)

1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某流行性病毒累计感染病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大感染病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着感染情况已初步遏制，则t*约为(参考数据：ln 19≈3)(　　)

A．60     B．65   

C．66     D．69

B　解析：由已知可得＝0.95K，解得e－0.23(t*－52)＝，两边取对数有－0.23(t*－52)＝－ln 19≈－3，解得t*≈65.

2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K(单位：万元)是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．

答案：2 500　解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000＝－10Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，

所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元).

3．某市家庭燃气的使用量x(单位：m3)和燃气费f(x)(单位：元)满足关系式f(x)＝已知某家庭2024年前三个月的燃气费如下表：

若四月份该家庭使用了20 m3的燃气，则其燃气费为________元．

答案：11.5　解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35