第2章 第6节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第六节　函数与方程

知识点一　函数的零点

1．函数的零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

3．函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

知识点二　二分法

　对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

知识点三　二次函数的图象与零点的关系

1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上只有一个零点．

2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　×　　)

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　×　　)

(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　×　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　√　　)

(5)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　×　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第一册P155 T2改编)函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如下表所示，则该函数的零点个数至少为(　　)

A.2     B．3

C．4     D．5

B　解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．

2．(苏教版必修第一册P237 T3改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)

A．(1，2)     B．(2，3)

C．(，1)和(3，4)     D．(4，＋∞)

答案：B

3．(湘教版必修第一册P132 T1改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A．0     B．1

C．2     D．3

答案：B

4．(人教B版必修第一册P114例5改编)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________.

答案：－，，1，2

考点   函数零点所在区间的判定(自悟通)

1.函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)     B．(1，2)

C．(2，3)     D．(3，4)

C　解析：方法一(利用函数零点存在定理)　因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由函数零点存在定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)上．

方法二(数形结合)　函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内．

2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0

B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0

D．f(x1)>0，f(x2)>0

B　解析：在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示．

由图象可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.

3．已知f(x－2)＝ln x－，且f(x0)＝0，则x0所在的区间为(　　)

A．(0，1)     B．(1，2)

C．(2，3)     D．(4，5)

A　解析：f(x－2)＝ln x－，则f(x)＝ln (x＋2)－，根据单调性的性质可知f(x)＝ln (x＋2)－是定义域上的增函数，故f(x)在定义域内最多有一个零点．又f(0)＝ln 2－1<0，f(1)＝ln 3－>0，所以存在x0∈(0，1)，使得f(x0)＝0.

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．