第2章 第4节 第❶课时 指数与对数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第四节　指数函数、对数函数

第❶课时　指数与对数

知识点一　指数

1．根式的性质

(1)()n＝a(a使有意义)；

(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝．

2．分数指数幂的意义

(1)a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

(2)a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)；

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).

知识点二　对数

对数的性质与运算法则

(1)对数的性质：①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；④logaan＝n(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R).

(3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).,

化简时，一定要注意区分n是奇数还是偶数．

1．换底公式的变形

(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1).

(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R).

(3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M>0).

2．换底公式的推广

logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0).

3．对数恒等式

alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0).

　　　　　　　　　　　　

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)()＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　)

(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　×　　)

(3)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　)

(4)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第一册P109 T2)设a>0，则下列运算中正确的是(　　)

A.aa＝a     B．a÷a＝a

C．aa－＝0     D．(a)4＝a

答案：D

2．(苏教版必修第一册P79 T2改编)设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)

A．a    B．a    C．a    D．a

答案：C

3．(人教A版必修第一册P127 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　)

A．    B．

C．2a＋b    D．2b＋a

A　解析：log1210＝＝＝.

考点   指数幂运算(自悟通)

1.若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4     B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1     D．(a－)4＝

D　解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；(a－)4＝，故D正确．

2．若x＋x－＝3，求的值．

解：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，

∴x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.

由(x＋x－)3＝33，

得x＋3x＋3x－＋x－＝27.

∴x＋x－＝18，∴x＋x－－3＝15，

∴＝.

3．化简下列各式：

(1)(2)0＋2－2×(2)－－(0.01)0.5；

(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3)；

(3).