第2章 第3节 二次函数与幂函数（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第三节　二次函数与幂函数

知识点一　幂函数

1．定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．常见的五种幂函数的图象

3．幂函数的性质

(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义．

(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．

(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：

(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；

(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；

(3)当m为偶数时，自变量满足x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处).

知识点二　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质

 

 

(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．

(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

　(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　×　　)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　×　　)

(3)函数y＝2x是幂函数．(　　×　　)

(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　√　　)

(5)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　×　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第一册P91 T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　)

A．64    B．4    C．    D．

答案：D

2．(北师大版必修第一册P64 T2改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________．

答案：[4，＋∞)

3．(人教A版必修第一册P91 T2改编)()与()的大小关系是________．(用“<”连接)

答案：()<()

4．(人教A版必修第一册P91 T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接)

答案：c<b<a　解析：由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.

考点   幂函数的图象与性质(自悟通)

1.函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

B　解析：y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移1个单位长度得到的(如选项A中的图象所示).将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.

2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)

A．－3     B．1

C．2     D．1或2

B　解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n的值为1.

3．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(　　)

A．函数f(x)在定义域内为增函数

B．函数f(x)为偶函数

C.当x>1时，f(x)>1