第2章 第2节 第❸课时 函数性质的综合问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第❸课时　函数性质的综合问题

考点    函数的奇偶性与单调性的综合(精研通)

【例1】定义在R上的偶函数f(x)满足：在x∈[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)<f(1)的x的取值范围是(　　)

A．(－1，0)     B．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，0)     D．(0，1)

B　解析：因为f(x)为R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以不等式f(2x－1)<f(1)可整理为|2x－1|>1，解得x<0或x>1.

奇偶性与单调性综合的两种题型及解法

(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．

(2)抽象不等式问题，解题步骤是：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．

需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)＜0，则f(x－1)＜f(1).

　设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　)

A．(－3，0)∪(3，＋∞)

B．(3，＋∞)

C．(－3，3)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D　解析：当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).

考点   函数的奇偶性与周期性的综合(精研通)

【例2】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则f()＝(　　)

A.－     B．－

C．     D．

(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1，3)   

B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

C．(－3，1)   

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

(1)D　(2)A　解析：(1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f()＝f(－8)＝f(－).又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－)＝－f()＝－[－()2]＝，所以f()＝.

(2)由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(1)＝f(5)＝a2－2a－4.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.

函数奇偶性与周期性的综合问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．

　(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)是以2为周期的周期函数

B．函数f(x)是以4为周期的周期函数

C．函数f(x－1)为奇函数

D．函数f(x－3)为偶函数

BC　解析：∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x).∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知A错误，B正确．令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1).在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故C正确．由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝cos x，则f(x－3)＝cos [(x－3)]＝cos (x－)＝－sin x为奇函数，故D错误．

考点   函数的奇偶性、周期性、对称性的综合(精研通)