第2章 第2节 第❷课时 函数的奇偶性、周期性与对称性&视野拓展2 函数奇偶性、周期性的两个拓展性质（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第❷课时　函数的奇偶性、周期性与对称性

考点   判断函数的奇偶性(自悟通)

1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　)

A．f(x)＝     B．f(x)＝

C．f(x)＝     D．f(x)＝

B　解析：通解　对于A选项，f(－x)＝＝≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B.

优解一(特殊值法)　对于A选项，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(π)＝＝，f(－π)＝＝，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数．故选B.

优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正．

对于A选项，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B选项，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C选项，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D选项，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B.

2．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．|f(x)|是偶函数

B．－f(x)是奇函数

C．f(x)|f(x)|是奇函数

D．f(|x|)f(x)是偶函数

ABC　解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x).所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x)·|f(x)|是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．

3．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________．

答案：奇函数　解析：方法一　当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴f(x)是奇函数．

方法二　作出f(x)的图象，由图象可知f(x)为奇函数．

判断函数奇偶性的常用方法

(1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断．

(2)图象法：即利用奇、偶函数的对称性来判断．

(3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．

考点   函数奇偶性的简单应用(自悟通)

1.(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝________．

答案：0　解析：通解　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a＝－(x3＋a)，得a＝0.

优解　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝a＝0.

2．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________．

答案：1　解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.

3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 022)＋f(2 024)的值为________．

答案：0　解析：由题意得g(－x)＝f(－x－1).∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2 022)＋f(2 024)＝f(2 023－1)＋f(2 023＋1)＝0.

应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法

(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．