第2章 第2节 第❶课时 函数的单调性与最值&教考衔接2 复合函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第二节　函数的性质

知识点一　函数的单调性

1．增函数与减函数

2．单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点二　函数的最值

知识点三　函数的奇偶性

1．函数的奇偶性

2.奇偶函数的等价形式

若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；

(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．

知识点四　函数的周期性

1．周期函数

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．

2．最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．,

(1)在区间I上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(2)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

(3)函数最值的结论

①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得．

②开区间上的“单峰”函数一定存在最小值或最大值．

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

 

对称性的3个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a

对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．

周期函数定义的实质

存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x，

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　)

(2)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，那么这个函数在定义域上是增函数．(　　×　　)

(3)所有的单调函数都有最值．(　　×　　)

(4)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　)

(6)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第一册P79 T3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝－x     B．y＝x2－x

C．y＝x＋     D．y＝ex

答案：A

2．(苏教版必修第一册P111例1改编)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．