第1章 第6节 一元二次不等式恒(能)成立问题（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第六节　一元二次不等式恒(能)成立问题

考点   在R上恒成立问题(精研通)

【例1】(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－4)   

B．(－∞，－4)∪{0}

C．(－∞，－4]   

D．(－4，0)

(2)不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|－1≤a<2}     B．{a|－1<a≤2}

C．{a|－1<a<2}     D．{a|－1≤a≤2}

(1)A　(2)B　解析：(1)∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，所以解得a<－4.

(2)当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.

综上，a的取值范围为{a|－1<a≤2}．

一元二次不等式在R上恒成立的条件

提醒：当所给不等式二次项含有参数时注意对参数是否为0的讨论．

1．若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋>0对于一切实数x都成立，则实数k满足(　　)

A．{k|k＝±}   

B．{k|k<－}

C．{k|－<k<}   

D．{k|k>－}

C　解析：由题意，得Δ＝(－k)2－4×2×<0，即k2－3<0，解得－<k<.

2．已知关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为________．

答案：[0，4)　解析：当m＝0时，不等式1>0恒成立，所以m＝0符合题意；

当m≠0时，若关于x的不等式mx2＋mx＋1>0恒成立，则解得0<m<4.

综上所述，m的取值范围为[0，4).

考点   在给定区间上的恒成立问题(精研通)

【例2】若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]   

B．(－∞，0]

C．[1，＋∞)   

D．(－∞，1]

A　解析：方法一　令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3.

方法二　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3.

对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，解决的方法有两种：

(1)讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题；

(2)结合图象进行分类讨论，转化为根的分布问题．

若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　　)

A．(－2，2)     B．(2，＋∞)

C．(－∞，2)     D．(－∞，2]

C　解析：∀x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0⇔m<x＋，而当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，则m<2，所以m的取值范围是(－∞，2).

考点   给定参数范围的恒成立问题(精研通)

【例3】若mx2－mx－1<0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围为________．

答案：(，)　解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当