第1章 第5节 一元二次方程和一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第五节　一元二次方程和一元二次不等式

知识点一　一元二次不等式

1．一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2．三个“二次”间的关系

知识点二　分式不等式与整式不等式

1.＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)．

2.≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．

不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．

(1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或

(2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　√　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　√　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　×　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　×　　)

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(苏教版必修第一册P62 T5改编)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________．

答案：R

2．(湘教版必修第一册P54例6改编)已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－3，－1)，则实数a＝________，b＝________．

答案：4　3

3．(人教A版必修第一册P58 T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________．

答案：(－3，3)　解析：由题意得Δ＝4a2－4×18<0，可得－3<a<3.

考点    不含参数的一元二次不等式的解法(自悟通)

1．已知集合M＝{x|x2＋5x－6≤0，x∈Z}，N＝{y|y2＋5y＋4≤0}，则M∩N＝(　　)

A．[－6，1]

B．{－4，－3，－2，－1}

C．[－4，－1]

D．{－6，－4，－3，－2，－1，0，1}

B　解析：由x2＋5x－6≤0得(x－1)(x＋6)≤0，所以－6≤x≤1.又x∈Z，所以M＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1}．由y2＋5y＋4≤0得(y＋4)(y＋1)≤0，所以－4≤y≤－1，所以N＝[－4，－1]，所以M∩N＝{－4，－3，－2，－1}．

2．若集合M＝{x|x(3－x)>0}，N＝，则M∩N＝(　　)

A．[－3，2]     B．(0，3]

C．[－3，2)     D．(0，2]