第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第四节　基本不等式

知识点一　基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．

(3)称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

知识点二　利用基本不等式求最值问题

　已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)

(1)a＋b≥2(a>0，b>0)；(2)ab≤()2(a，b∈R)；(3)()2≤(a，b∈R)；(4)＋≥2(a，b同号).

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　×　　)

(2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　)

(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　√　　)

(4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　)

(5)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充分不必要条件．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教B版必修第一册P73例1改编)若x＜0，则x＋(　　)

A.有最小值，且最小值为2

B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2

D．有最大值，且最大值为－2

答案：D

2．(人教A版必修第一册P46例3改编)矩形的两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是________．

答案：

3．(北师大版必修第一册P28 T4改编)已知x＞2，则x＋的最小值是________．

答案：4

4．(人教A版必修第一册P48 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________.

答案：　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤[]2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立．故所求最大值为.

考点   利用基本不等式求最值(自悟通)

命题点1　拼(配)凑法求最值

1．已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

答案：　解析：因为0<x<1，所以4－3x>0，所以x(4－3x)＝·3x·(4－3x)≤×[]2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时等号成立．故所求x的值为.

2．函数y＝(x>1)的最小值为________．

答案：2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0，所以y＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，

当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．

利用拼凑法及基本不等式求最值的实质及关键点

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

命题点2　常数代换法求最值

3．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)

A．    B．    C．5    D．9

答案：B　解析：＋＝(＋)(a＋b)＝(＋＋5)≥(4＋5)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．

4．已知a>0，b>0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　)

A．13    B．19    C．21    D．27

D　解析：＋3b＝(＋3b)(3a＋)＝3＋12＋＋9ab≥15＋2×＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时等号成立，故＋3b的最小值为27.

5．设0<x<1，则＋的最小值为________.

答案：9　解析：因为0<x<1，所以0<1－x<1，则＋＝(＋)[(1－x)＋x]＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时等号成立，故＋的最小值为9.

利用常数代换法及基本不等式求解最值的基本步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

命题点3　消元法求最值