4.3 对数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.3 对数 知识归纳与题型总结 考点01 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 考向01 对数的概念判断与求值 【例1】已知，得______. 【答案】/ 【详解】由，得，. 考向02 指数式与对数式的互化 【例2】已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 【对点1】有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 【对点2】已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 考点02 对数的运算性质 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考向01 对数的运算 【例1】凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，2022年11月16日，凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【详解】设凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量为，云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量为， 则①，②， ①②得， 化简可得，所以， 即. 考向02 对数的运算性质的应用 【例2】计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)15 (2)2 【详解】（1） （2） . 考向03 运用换底公式化简计算 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 考向04 运用换底公式证明恒等式 【例4】计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式以及指数幂运算求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 【对点1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为，， 所以. 【对点2】已知，试用表示________． 【答案】 【详解】由换底公式可得： ， 又 ， ，又， 所以. 【对点3】已知，则的值为________． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. 【对点4】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 考点03 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 一、单选题 1．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过266年将有一半的臭氧消失．按照这样的变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（参考数据：，）（     ） A．392 B．448 C．618 D．698 【答案】C 【详解】由题意得，，即，得， 得 2．若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A， ，A 正确； 对于B，由题：，， 所以， ，B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 所以，当且仅当时取等号，因为，所以，C错误； 对于D，由选项A可知，由选项B可知，， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 因为，所以，D正确． 3．设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、对数运算性质及同底对数互倒关系，将所求对数用已知的a、b表示即可得到结果. 【详解】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 4．形如（是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给定义表示出，进而分析可以判断出其位数． 【详解】由题意知：， 因为，所以的位数是. 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，则， 故. 6．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 7．的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案. 【详解】由可知， ， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 结合，则，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 二、多选题 8．（多选）下列选项中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，的最大值为2 D．若，，且，的最小值为 【答案】ACD 【详解】A：由，且两边均非负，得，A正确． B：取，则左边为，右边为2，不等式不成立，B错误． C：由， 令，得，即，故，即，当，时等号成立，C正确． D：由，得，所以． 当时等号成立，此时，，满足条件，D正确． 9．（多选）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】令，得，再结合对数的运算求解． 【详解】令， 得， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，当时，得，则， 得，故B项正确； 对于C项，当时，得，而， 则，得，但推不出，故C项错误； 对于D项，当时，得， 则 ， 而，得，得，得， 得，而， 得，得，得，故D项正确． 10．（多选）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【分析】根据对数运算律结合换底公式计算判断A，D，应用指数运算律计算判断B，C. 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 三、填空题 11．已知，，则______． 【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 12．若，且，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合对数的运算性质，用表示出，代入中可得到关于的方程，解方程即可求解. 【详解】由知， 所以，且， 两边取以2为底的对数得，所以. 同理，由得. 所以，即，解得. 13．_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 14．若满足，当时，，则__________. 【答案】 【分析】利用周期函数的性质将自变量平移到区间内，再代入已知解析式计算结果. 【详解】因为，所以函数是周期为的周期函数， 因为，，所以，所以， 所以， . 15．已知，，若，且，则__________． 【答案】/1.5 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 四、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)设，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用指数幂运算律进行计算； （2）利用对数运算律进行计算 （3）化简后利用立方和公式进行计算. 【详解】（1） . （2）. （3）， ， 所以 . 17．（1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. 【答案】（1） （2），， 则 ，即. 【分析】（1）根据立方和公式和平方差公式，结合平方法、指数运算性质进行求解即可； （2）根据对数的换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ， ， 由，则； （2）略. 18．（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）把根式化成分数指数幂，注意、、； （2）用对数运算性质合并； （3）把、化成以为底的对数后相加. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由得，由得， 所以，， 故. 19．（1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 【答案】（1）①；②．（2）①；②． 【详解】（1）①原式． ②原式． （2）①因为，两边平方得 ，所以． ②设，则，且 ， 所以，即． 20．计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)已知，，为正实数，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）． （3）设，所以，，， 因为，则，即， 所以，则． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 4.3 对数 知识归纳与题型总结 考点01 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈2.71828 简记作ln N 考向01 对数的概念判断与求值 【例1】已知，得______. 考向02 指数式与对数式的互化 【例2】已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【对点1】有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【对点2】已知，，则__________． 考点02 对数的运算性质 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考向01 对数的运算 【例1】凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，2022年11月16日，凉山州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2022年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（     ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 考向02 对数的运算性质的应用 【例2】计算下列各式： (1)； (2). 考向03 运用换底公式化简计算 【例3】计算： (1)； (2)． 考向04 运用换底公式证明恒等式 【例4】计算下列各式的值 (1)； (2). 【对点1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【对点2】已知，试用表示________． 【对点3】已知，则的值为________． 【对点4】已知，则（   ） A． B． C． D． 考点03 对数的实际应用 1．对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数式，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 一、单选题 1．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过266年将有一半的臭氧消失．按照这样的变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（参考数据：，）（     ） A．392 B．448 C．618 D．698 2．若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．设，，则（     ） A． B． C． D． 4．形如（是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那么的位数是（     ） （参考数据：） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（多选）下列选项中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，的最大值为2 D．若，，且，的最小值为 9．（多选）已知，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 10．（多选）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 三、填空题 11．已知，，则______． 12．若，且，则______． 13．_____________． 14．若满足，当时，，则__________. 15．已知，，若，且，则__________． 四、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)设，，求． 17．（1）已知，求的值； （2）已知，，证明：. 18．（1）计算：. （2）计算：. （3）已知，求的值. 19．（1）计算： ①； ②． （2）已知，求下列各式的值： ①；　　 ②． 20．计算下列各式的值． (1)； (2)； (3)已知，，为正实数，，，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $