第1章 第3节 不等式的基本性质（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第三节　不等式的基本性质 课标解读 1.会比较两个数(式)的大小． 2．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 知识点一　比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a>0，b>0)或<1(a<0，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a>0，b>0)或>1(a<0，b<0) 知识点二　不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a； a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c； a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc c的 符号 同向可 加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(a－m＞0). (2)＞；＜(b－m＞0). 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　×　　) (2)a＝b⇔ac＝bc.(　　×　　) (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(苏教版必修第一册P50 T7改编)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A．＜1 B．2－x＜2－y C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2 答案：B 2．(人教B版必修第一册P63 T3改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A．＞ B．＜ C．＞ D．＜ 答案：B 3．(人教A版必修第一册P38例1改编)已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为______________． 答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1 4．(人教A版必修第一册P43 T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－3b的取值范围是________． 答案：(7，12) 考点 比较两个数(式)的大小(自悟通) 1.已知x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，则(　　) A．x<y B．x＝y C．x>y D．x与y的大小无法判断 A　解析：因为x＝－a2－2a＋3，y＝4－3a，所以x－y＝－a2＋a－1＝－(a－)2－<0，故x<y. 2．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为(　　) A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n B　解析：当a>1时，易知a2＋1>2a，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增的性质可知m>p.当a>1时2a显然大于a－1，同理可知p>n.综上，m>p>n. 3．已知a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________. 答案：a<b　解析：＝＝()16·＝()16·()16＝()16.∵∈(0，1)，∴()16<1.又1816>0，1618>0，∴1816<1618，即a<b. 比较两个数(式)大小的两种方法 考点 利用不等式的性质比较大小(自悟通) 【例1】(1)(多选)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ac(a－c)<0 D．cb2<ab2 (2)已知|m|>|n|>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．m>n B．|m|＋n>0 C．m＋n<0 D．< (3)(多选)已知0<a<b<1，则下列不等式中成立的是(　　) A.()a<()b B．ln a<ln b C．a3<b3 D．sin a>sin b (1)ABC　(2)B　(3)BC　解析：(1)因为c<b<a且ac<0，所以c<0，a>0，所以ab>ac，故A一定成立；又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故D不一定成立． (2)对于A，若m＝－2，n＝1，则满足|m|>|n|>0，而不满足m>n，所以A错误；对于B，当n>0时，则|m|＋n>0一定成立，当n<0时，由|m|>|n|>0，得|m|>－n，则|m|＋n>0，所以B正确；对于C，若m＝2，n＝1，则满足|m|>|n|>0，而不满足m＋n<0，所以C错误；对于D，若m＝－2，n＝－1，则满足|m|>|n|>0，而不满足<，所以D错误． (3)对于A，因为y＝()x在R上为减函数，且0<a<b<1，所以()a>()b，所以A错误；对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，0<a<b<1，所以ln a<ln b，所以B正确；对于C，因为0<a<b<1，所以由不等式的性质可得a3<b3，所以C正确；对于D，因为0<a<b<1<，又函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin a<sin b，所以D错误． 判断选择题中不等式成立常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性．当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．若2m>2n，则下列结论一定成立的是(　　) A．> B．m|m|>n|n| C．ln (m－n)>0 D．πm－n<1 B　解析：由2m>2n，可取m＝2，n＝1，可得A，C，D不成立． 2．若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c<b＋c B．< C．ac>bc D．b－a>c A　解析：对于A，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a＋c<b＋c，所以A正确；对于B，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若a＝－2，b＝－1，则>，所以B错误；对于C，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，c>0，a<b⇒ac<bc，所以C错误；对于D，因为a<b⇒b－a>0，又c>0，无法判断b－a与c的大小，所以D错误． 考点 利用不等式性质判断正误(精研通) 【例2】(1)(多选)设a<b<c，且a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac<bc C．< D．<1 (2)下列对不等关系的判断，正确的是(　　) A．若＜，则a3＞b3 B．若＞，则2a＜2b C．若ln a2＞ln b2，则2|a|＞2|b| D．若tan a＞tan b，则a＞b (1)BC　(2)C　解析：(1)因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B正确；因为a<0<c，所以<，故C正确；因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D错误． (2)对于A，当a＝－1，b＝1时满足＜，但a3＜b3，故A错误；对于B，当a＝1，b＝－2时满足＞，但2a＞2b，故B错误；对于C，ln a2＞ln b2⇒a2＞b2⇒|a|＞|b|⇒2|a|＞2|b|，故C正确；对于D，tan ＞tan ，但＜，故D错误． (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式、对数函数、指数函数的性质进行判断． 若a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－d C．ac＞bd D．> A　解析：对于A，因为a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，根据同向不等式的可加性知a＋c＞b＋d，故A正确；对于B，令a＝2，b＝0，c＝3，d＝0，可知B不正确；对于C，D，令a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝－2，可知C，D不正确． 考点 利用不等式性质求范围(精研通) 【例3】(1)(多选)已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A．∈(，3) B．∈(，6) C．a－2b∈(－4，1) D．a－2b∈(－7，4) (2)若－2<a<b<3，－2<c<0，则c(a－b)的取值范围是________． (1)BD　(2)(0，10)　解析：(1)∵1<b<5，∴－10<－2b<－2，<<1.又3<a<6，∴∈(，6)，a－2b∈(－7，4)，∴B，D正确． (2)由－2<a<b<3，得b－a>0，且－2<a<3，－2<b<3，∴－3<－a<2，由不等式的性质可得－5<b－a<5，∴0<b－a<5.∵－2<c<0，∴0<－c<2，∴0<－c·(b－a)<10，即0<c·(a－b)<10，∴c·(a－b)的取值范围是(0，10). 求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点 (1)要注意题设中的条件． (2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． 已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－，) C．(0，1) D．(－，1) D　解析：因为α∈(0，)，所以0<2α<1.因为β∈[0，]，所以0≤≤，所以－≤－≤0，所以－<2α－<1. [分级练(3)见P299] 学科网（北京）股份有限公司 $$