第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第二节　常用逻辑用语

知识点一　充分条件、必要条件与充要条件

知识点二　全称量词与存在量词

1．全称量词和存在量词

2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定

 

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　√　　)

(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　√　　)

(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　√　　)

(4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　　√　　)

(5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教A版必修第一册P34 T5改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

2．(人教A版必修第一册P35 T6改编)下列命题中的假命题是(　　)

A．∃x∈R，lg x＝1     B．∃x∈R，sin x＝0

C．∀x∈R，x3>0     D．∀x∈R，2x>0

C　解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题．

3．(人教B版必修第一册P40 T9改编)设a，b∈R且ab≠0，则“ab＞1”是“a＞”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：D

4．(苏教版必修第一册P43 T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围为________．

答案：(－∞，1)

考点   含量词的命题的否定(自悟通)

1.命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为(　　)

A．∀n∈Z，n∉Q   

B．∀n∈Q，n∈Z

C．∃n∈Z，n∈Q   

D．∃n∈Z，n∉Q

D　解析：命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”．

2．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则¬p为(　　)

A．∃x<0，ex<1且sin x≥1

B．∃x≥0，ex<1且sin x≥1

C．∃x≥0，ex<1或sin x≥1

D．∃x<0，ex≥1或sin x≤1

B　解析：命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，所以¬p：∃x≥0，ex<1且sin x≥1.

对全称(存在)量词命题进行否定的方法

(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

(2)对原命题的结论进行否定．

考点   含量词的命题的真假判定(自悟通)

1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　)

A．p和q都是真命题

B．¬p和q都是真命题

C．p和¬q都是真命题

D．¬p和¬q都是真命题

B　解析：通解　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)·(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B.

优解(特殊值法)　在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B.

2．(多选)下列命题为真命题的是(　　)

A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数

B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数

C．∀x∈R，x4＜x5

D．∃x∈R，x2－2x＋1≤0

AD　解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋，当sin (x＋)＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题；x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题．