第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 知识点一　充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 知识点二　全称量词与存在量词 1．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 全称量词命题 存在量词命题 语言表示 对M中任意一个 x，p(x)成立 存在M中的元素 x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”) (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　√　　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　√　　) (4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　　√　　) (5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教A版必修第一册P34 T5改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．(人教A版必修第一册P35 T6改编)下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，lg x＝1 B．∃x∈R，sin x＝0 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 C　解析：当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题． 3．(人教B版必修第一册P40 T9改编)设a，b∈R且ab≠0，则“ab＞1”是“a＞”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 4．(苏教版必修第一册P43 T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，1) 考点 含量词的命题的否定(自悟通) 1.命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为(　　) A．∀n∈Z，n∉Q B．∀n∈Q，n∈Z C．∃n∈Z，n∈Q D．∃n∈Z，n∉Q D　解析：命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”． 2．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，则¬p为(　　) A．∃x<0，ex<1且sin x≥1 B．∃x≥0，ex<1且sin x≥1 C．∃x≥0，ex<1或sin x≥1 D．∃x<0，ex≥1或sin x≤1 B　解析：命题是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x<1，所以¬p：∃x≥0，ex<1且sin x≥1. 对全称(存在)量词命题进行否定的方法 (1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定． 考点 含量词的命题的真假判定(自悟通) 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 B　解析：通解　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)·(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 优解(特殊值法)　在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 2．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋ 的值恒为正数 C．∀x∈R，x4＜x5 D．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 AD　解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sin x＋cos x＋＝sin (x＋)＋，当sin (x＋)＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题；x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题． 判断含有一个量词的命题真假的方法 (1)要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立． 考点 充分、必要条件(精研通) 命题点1　充分、必要条件的判定 【例1】(1)(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (1)C　(2)B　解析：(1)由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. (2)甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件． 判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． 1．设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由x<1且y<1，可得x＋y<2，故充分性成立；当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1. 故“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件． 2．不等式x－>0成立的一个充分条件是(　　) A．x<－1 B．x>－1 C．－1<x<0 D．0<x<1 C　解析：x－>0⇔>0⇔x(x＋1)(x－1)>0⇔x>1或－1<x<0.因为{x|－1<x<0}{x|x>1或－1<x<0}，所以不等式x－>0成立的一个充分条件是－1<x<0. 命题点2　充分、必要条件的应用 【例2】若“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，2) B．(1，2] C．[1，2] D．(1，2) C　解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1.∵“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1”成立的充分不必要条件，∴满足a－1≤1， a＋1≥2，且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2. 已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 　若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________． 答案：3　解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}{x|x<－2或x>3}，所以a≥3，故a的最小值为3. 考点 含量词的命题的应用(精研通) 【例3】(1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________. (2)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________. 答案：(1)(－∞，－2]　(2)[，＋∞) 解析：(1)由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2. (2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥. (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围． (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 　已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，4)　解析：因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0<a<4. [分级练(2)见P298] 学科网（北京）股份有限公司 $$