第1章 第1节 集 合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式

第一节　集　合

知识点一　集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．

(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．

(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.

(4)五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

知识点二　集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).

(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集．记作AB或BA.

(3)集合相等：如果A⊆B，且B⊆A，则A＝B．

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．

知识点三　集合的基本运算

(1)交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.

(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.

(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

一、辨析正误(在括号内画“√”或“×”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　×　　)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　×　　)

(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.(　　×　　)

(4)任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)成立．(　　√　　)

二、版本互鉴

1．(人教B版必修第一册P9 T4改编)已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．

答案：1或4

2．(苏教版必修第一册P21 T7改编)设全集U＝{x∈N*|x<9}，集合A＝{3，4，5，6}，则∁UA＝____________.

答案：{1，2，7，8}

3．(人教A版必修第一册P10例2改编)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝____________．

答案：{x|1<x<2}

4．(人教A版必修第一册P14 T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝______________________，(∁RA)∩B＝______________________.

答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或7≤x＜10}

5．(北师大版必修第一册P7 T3改编)集合{x|(x－1)(x－2)(x－3)2＝0}的子集个数为________，非空真子集的个数为________．

答案：8　6

考点   集合的含义与表示(自悟通)

1.(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　)

A．－1∉A     B．－11∉A

C．3k2－1∈A     D．－34∈A

BCD　解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－

∉Z，所以－11∉A，所以B正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．

2．已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，则B＝(　　)

A．{－1，0，2}     B．{0，1，2}

C．{－2，－1，0}     D．{－2，－1，0，1，2}

B　解析：因为集合A＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，所以集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}＝{0，1，2}．

3．已知a，b∈R，若 ＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 025＝________．

答案：－1　解析：由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1.

解决集合含义问题的关键点

(1)确定构成集合的元素．

(2)确定元素的限制条件．

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．

提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．

考点   集合间的基本关系(自悟通)

【例1】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

答案：(－∞，3]　解析：①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.

②若B≠∅，则解得2≤m≤3.

由①②可得，实数m的取值范围为(－∞，3].

集合间基本关系的应用及解题策略

(1)一般利用数轴法、Venn图以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，则需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成