第09讲整式的加减（7大知识点+21大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第09讲整式的加减（7大知识点+21大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 同类项的判断 典型例题二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 典型例题三 合并同类项 典型例题四 去括号 典型例题五 添括号 典型例题六 整式的加减运算 典型例题七 整式的加减中的化简求值 典型例题八 整式加减中的无关型问题 典型例题九 整式加减的应用 典型例题十 单项式的判断 典型例题十一 单项式的系数、次数 典型例题十二 写出满足某些特征的单项式 典型例题十三 单项式规律题 典型例题十四 多项式的判断 典型例题十五 多项式的项、项数或次数 典型例题十六 多项式系数、指数中字母求值 典型例题十七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题十八 整式的判断 典型例题十九 数字类规律探索 典型例题二十 图形类规律探索 典型例题二十一 带有字母的绝对值化简问题 知识点一：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，问与是同类项吗？并说明理由． 知识点二：去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）去括号应得（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 知识点三：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）化简： (1)； (2)． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）计算：． 知识点四：代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足，． 知识点五：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 知识点六：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）多项式 1 + 2xy﹣3y³ 的次数及最高次项的系数分别是（ ） A．3，﹣3 B．2，2 C．5，﹣3 D．﹣3，3 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 知识点七：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在式子，，，，中，整式有 个． 2．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【典型例题一 同类项的判断】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列各组中的两项不属于同类项的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在下列各组单项式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）写出单项式的一个同类项： ． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． （1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与． 【典型例题二 已知同类项指数中字母或代数式的值】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）代数式与是同类项，则常数n的值为（） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知单项式与单项式的和仍为单项式，求的值． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若和是同类项，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如果代数式与是同类项，那么的值是（　　） A．1 B．5 C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若单项式与单项式是同类项，则的为 . ． 4．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）如果单项式与是同类项，求的值． 【典型例题三 合并同类项】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）两个5次多项式相加，结果一定是（　　） A．5次多项式 B．10次多项式 C．不超过5次的多项式 D．无法确定 2．（23-24七年级上·江苏常州·期中）计算： 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·一模）计算的结果是 ． 4．（2023七年级上·江苏·专题练习）合并同类项： (1)； (2)． 【典型例题四 去括号】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）化简： (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列去括号的结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习） ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）合并同类项． (1)； (2) 【典型例题五 添括号】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·全国·假期作业）把﹣2x2﹣3xy＋y2﹣3x＋y＋1中的二次项放在前面带有“﹣”号的括号里，一次项放在前面带有“＋”号的括号里． 1．（2022七年级上·江苏·专题练习）下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏南京·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若，则 ． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）（1）小丽在计算时，采用了如下做法： 解： ① ② 步骤①的依据是：______； 步骤②的依据是：______； （2） 请试着用小丽的方法计算：． 【典型例题六 整式的加减运算】 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）若，则称与是关于的友好数．代数式与是关于的友好数，则代数式为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）比较与的大小． 1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏常州·二模）计算： ． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 【典型例题七 整式的加减中的化简求值】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如果，那么代数式的值为(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（23-24七年级·江苏·假期作业）已知，，则式子的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值为 ． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）先化简，再求值：，其中，． 【典型例题八 整式加减中的无关型问题】 1．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）代数式的值（    ） A．与字母，都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母，都无关 2．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）试说明：无论取何值，代数式的值不变． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）多项式与的大小关系（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与，都有关 D．与，无关 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若关于的多项式中不含有的一次项，则的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）当 时，多项式中不含项． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，． （1）求A－B； （2）若2A－mB中不含x项，求m的值． 【典型例题九 整式加减的应用】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知两个多项式M和N都是四次多项式，那么的次数为（　　） A．四次 B．不高于四次 C．八次 D．不低于四次 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）（1）把数x的平方乘以2后加8，然后除以4，再减去x的平方的，运算结果是一个确定的值吗？若是，请求出这个确定的值；若不是，请说明理由； （2）小明在做第（1）问时，将误抄写成2，然后发现运算结果不是确定的值，但他同时发现这个结果有最大值（或最小值）．请你帮小明用含x的代数式表示结果，并直接写出这个代数式的最大值（或最小值）． 1．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）甲、乙两匹马各驮有一袋重量相等的大米（袋子还有较大的空余），先把甲的大米倒给乙袋，再把乙的大米倒给甲袋，结果（　　） A．甲多 B．乙多 C．一样多 D．谁多谁少，要视原来每袋大米的重量而定 2．（22-23七年级上·江苏镇江·期中）已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学依次取糖果，按先后顺序依次递减相同的量来取，正好取完．若丙同学取了15颗糖果，则共有糖果（    ）颗 A．75 B．70 C．65 D．60 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）若一个多项式与的和等于2m，则这个多项式是 ． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）魔术师告诉小丽：“你在纸上写一个数字，不要让我看到，然后用你写的数字乘以再加上，将所得的结果除以，再减去你写在纸上的数，无论你选用哪个数字，我都能猜出你的答案”． （1）若小丽所选用的数字为和，请你按魔术师所说的过程完成运算并比较结果，写出你的发现； （2）若用表示小丽所选取的数，请尝试解释你的发现． 【典型例题十 单项式的判断】 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）下列代数式中中，单项式共有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）有下列代数式：，其中单项式的个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）代数式、、、、0中，单项式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知a，b为有理数，关于x、y的代数式∶ 化简之后仍为单项式，求a，b的值．                                                       【典型例题十一 单项式的系数、次数】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）单项式的系数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列四个单项式的系数、次数，正确的是（  ） A．系数为1，次数为3 B．系数为，次数为3 C．系数为1，次数为2 D．系数为，次数为3 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数是 ． 4．（24-25七年级上·河南开封·期中）已知是关于x、y的四次单项式，求的值． 【典型例题十二 写出满足某些特征的单项式】 1．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 1．（22-23七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）请写出一个系数为且只含有字母、的三次单项式 ． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【典型例题十三 单项式规律题】 1．（24-25七年级上·江苏·期中）一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第个单项式应是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 1．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ） A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1) 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是 ． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【典型例题十四 多项式的判断】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）在下列代数式：，，，，，中，多项式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）已知，0，，，，中多项式有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是 个． 4．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）小宇和小辉一起制作了6张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给小宇加1分，做出一张多项式卡片给小辉加1分．如图是他们做的卡片． (1)小宇得了_____________分； (2)请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里． 【典型例题十五 多项式的项、项数或次数】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下列说法正确的是（  ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是3 C．是四次三项式 D．与是同类项 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）若关于x的多项式不含二次项和一次项，求m、n的值． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．2是单项式 B．的系数是3 C．的次数是1 D．多项式的次数是4 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上不能填写的是（    ） _________是一个三次三项式． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）多项式的次数是 ． 4．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【典型例题十六 多项式系数、指数中字母求值】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如果整式是关于的二次三项式，那么等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）关于x、y的多项式my3+3nx2y+2y3 - x2y+xy+y不含三次项，求m+3n的值 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）多项式x2-3kxy-3y2+6xy不含xy项，则k的值为（     ） A．0 B．－2 C．2 D．任意有理数 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知多项式是关于x的二次三项式，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若关于x的多项式不含项，则 ． 4．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）已知多项式是关于x，y的四次三项式． (1)求m的值． (2)当时，求此多项式的值． 【典型例题十七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：①为任意有理数，总是正数；②对于任何一个有理数，加上一个数后一定比原数大；③单项式的次数为1；④两个有理数a、b，如果，那么；⑤多项式是按字母a降幂排列的．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．2个 D．个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）请把多项式重新排列． (1)按x降幂排列： (2)按y降幂排列． 1．（24-25七年级上·重庆·期中）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）将按字母a升幂排列是 ． 4．（22-23七年级上·吉林延边·期中）已知多项式与单项式的次数相同． (1)求m的值； (2)把这个多项式按x的降幂排列． 【典型例题十八 整式的判断】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在，，，，，不属于整式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列式子：，，0，，，整式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级·江苏·假期作业）在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有 个；单项式有 个，次数为2的单项式是 ；系数为1的单项式是 ． 4．（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【典型例题十九 数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一组数为：，，，，．．．，找规律得到第7个数是（    ） A． B． C． D．7 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 1．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）有一列数：1，，5，，……，观察它的规律可知，第个数是（    ） A．19 B． C．21 D． 2．（2022七年级·江苏·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3、．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）把有理数化为小数，小数点后第2024位数字为 ． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2019个数分别是什么吗？ (1)，，，，，，，， ， ， ，； (2)，，，，，，，， ， ， ，． 【典型例题二十 图形类规律探索】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏无锡·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1 4 2 、7 3 10 4 13 …… …… …… (1)每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． (2)摆20个正方形需要多少根小棒？ 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）观察下列一组图案，每个图案都是若干个“·”组成，其中图①中共有7个“·”，图②中共有13个“·”，图③中共有21个“·”，图④中共有31个“·”…，按此规律，图形⑩中的“·”个数是（    ） A．113 B．117 C．125 D．133 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知正方形A1A2A3A4的边长为1，若从某一点开始沿逆时针方向走点的下标数字的路程，则把这种走法成为一次“逆移”，如：在点A3开始经过A3→A4→A1→A2为第一次“逆移”，在点A2开始经过A2→A3→A4为第二次“逆移”．若从点A1开始，经过2022次“逆移”，最终到达的位置是（　　） A．A1 B．A2 C．A3 D．A4 3．（24-25七年级上·江苏·期末）小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④） 小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 ． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·开学考试）小华用边长为1厘米的正方形纸片分别摆出如下图所示的图形，并依次写出了每个图形的周长．请你按照规律，填写表格． 图形 图1 图2 图3 … 图n 周长/厘米 … 【典型例题二十一 带有字母的绝对值化简问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示． （1）当，时，求的值； （2）化简：． 1．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）下列各对数：与；与；与；与；与；与，其中，互为相反数的有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（　　　） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若有理数a是负数，化简： ． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：． 、 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数是2，次数是3 C．3是单项式 D．多项式是五次二项式 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）单项式的系数、次数分别是（   ） A．，4 B．3，4 C．，5 D．3，5 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）单项式的系数和次数分别是（     ） A．，4 B．，3 C．9，3 D．9，4 5．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）单项式的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）单项式的系数为（   ） A．3 B．2 C． D． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列各单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·江苏无锡·二模）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·江苏·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）单项式的次数为 ． 12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若关于x，y的单项式与和是一个单项式，则a的值为 ． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）单项式的系数为 ． 14．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）春秋时代，人们用算筹摆放图形，来表示1、2、3、4、5、6、7，你认为他们会用 图来表示“9”． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）写出一个关于字母x、y的4次单项式，且系数为3，你写出的单项式为 ． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）化简： (1)； (2)． 18．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1)； (2)． 19．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）化简： (1)； (2)． 20．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）小明在学习scratch电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为A、B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是16和． (1)从初始状态按2次后，分别求A，B区显示的结果： (2)从初始状态按2次后，计算代数式A减去代数式B的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲整式的加减（7大知识点+21大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 同类项的判断 典型例题二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 典型例题三 合并同类项 典型例题四 去括号 典型例题五 添括号 典型例题六 整式的加减运算 典型例题七 整式的加减中的化简求值 典型例题八 整式加减中的无关型问题 典型例题九 整式加减的应用 典型例题十 单项式的判断 典型例题十一 单项式的系数、次数 典型例题十二 写出满足某些特征的单项式 典型例题十三 单项式规律题 典型例题十四 多项式的判断 典型例题十五 多项式的项、项数或次数 典型例题十六 多项式系数、指数中字母求值 典型例题十七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题十八 整式的判断 典型例题十九 数字类规律探索 典型例题二十 图形类规律探索 典型例题二十一 带有字母的绝对值化简问题 知识点一：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，问与是同类项吗？并说明理由． 【答案】是同类项，理由见解析 【分析】根据绝对值的非负性可求解，，再根据同类项的定义即可求解． 【详解】解：是同类项，理由如下： 由题意，得：，解得：， ，解得：， 所以，， 因为它们都含有字母和，且的指数都是2，的指数都是3， 所以它们是同类项． 【点睛】本题考查了同类项的定义及绝对值的非负性，熟练掌握其定义及绝对值的非负性是解题的关键． 知识点二：去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）去括号应得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号法则的应用，当括号前是负号时，去掉括号后，括号内的每一项都要改变符号；根据括号前是负号时的法则去括号即可． 【详解】解：； 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 根据去括号和添括号法则分别进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 知识点三：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减． （1）合并同类项即可； （2）先去括号再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2） 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，掌握其运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 知识点四：代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】原式利用去括号法则去括号后，合并同类项得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 将，代入得：原式． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，先去小括号，然后合并同类项，最后把，代入化简的整式，即可． 【详解】解： ， 把，代入得，． 知识点五：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【详解】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据单项式的定义分析即可． 【详解】解：，，0是单项式； 是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式． 故选D． 知识点六：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）多项式 1 + 2xy﹣3y³ 的次数及最高次项的系数分别是（ ） A．3，﹣3 B．2，2 C．5，﹣3 D．﹣3，3 答案：A 解析：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，在多项式 1 + 2xy﹣3y³ 中，1 是常数项次数为 0，2xy 的次数是 1 + 1 = 2，﹣3y³ 的次数是 3，所以该多项式次数是 3，最高次项是﹣3y³，其系数是﹣3。 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）在代数式，，，0，，，中，单项式和多项式的个数分别是（   ） A．2，5 B．3，4 C．4，3 D．5，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和的形式叫做多项式． 【详解】解：在代数式，，，0，，，中，单项式有，，0，，共4个，多项式有，，，共3个， 故选：C． 知识点七：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）在式子，，，，中，整式有 个． 【答案】3 【分析】此题主要考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：式子，，，，中，整式有：，，，共3个． 故答案为：3． 2．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）已知代数式：①，② ，③，④，⑤，⑥，⑦．其中： (1)属于单项式的有 ；（填序号） (2)属于多项式的有 ；（填序号） (3)属于整式的有 ．（填序号） 【答案】(1)①②⑥ (2)③⑤ (3)①②③⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式，掌握这三个定义的意义，是数字而不是字母是解题的关键． （1）根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行判断； （2）根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式进行判断； （3）根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式进行判断． 【详解】（1）解：属于单项式的有：①，② ，⑥， 故答案为：①②⑥； （2）属于多项式的有：③，⑤， 故答案为：③⑤； （3）属于整式的有：①，② ，③，⑤，⑥， 故答案为：①②③⑤⑥． 【典型例题一 同类项的判断】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列各组中的两项不属于同类项的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关． 【详解】解：A、和，符合同类项的定义； B、和，符合同类项的定义； C、和，符合同类项的定义； D、和，所含字母不相同，不是同类项． 故选：D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【分析】（1）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可； （2）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可； （3）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可； （4）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可． 【详解】（1）解：与是同类项，因为与都含有和，且的指数都是，的指数都是； （2）解：与是同类项，因为与都不含字母，为常数项．常数项都是同类项； （3）解：与不是同类项，因为与中，的指数分别是和，的指数分别为和，所以不是同类项； （4）解：与不是同类项，因为与中所含字母不同，含有字母、、，而中含有字母、．所以不是同类项． 【点睛】本题考查了同类项的判断，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在下列各组单项式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查同类项，熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项是解题的关键．根据同类项的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、和是同类项，故此选项不符合题意； B、和是同类项，故此选项不符合题意； C、和，字母、的指数不同，不是同类项，故此选项符合题意； D、和是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的识别，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求解即可． 【详解】解：A、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，不符合题意； B、与所含字母不相同，二者不是同类项，不符合题意； C、与所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，二者不是同类项，不符合题意； D、与所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者是同类项，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键；根据“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”求解即可． 【详解】解：单项式的一个同类项为， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由． （1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与． 【答案】见解析 【分析】根据同类项的定义含有相同的字母，并且相同字母的次数也相同的项是同类项，另单独的数字也是同类项，逐一判断即可解题． 【详解】解：（1）（2）（5）都符合同类项的定义，都是同类项； （3）与虽然所含的字母相同，但相同字母的指数都不相同，所以它们不是同类项； （4）与所含的字母不相同，故它们不是同类项． 【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 【典型例题二 已知同类项指数中字母或代数式的值】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）代数式与是同类项，则常数n的值为（） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，注意①所含字母相同，②相同字母的指数也相同，两者缺一不可．根据同类项的定义进行计算即可． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴， 解得， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）已知单项式与单项式的和仍为单项式，求的值． 【答案】1 【分析】由单项式与单项式的和仍为单项式，可得单项式与单项式是同类项，可得从而可得答案. 【详解】解： 单项式与单项式的和仍为单项式， 单项式与单项式是同类项， 【点睛】本题考查的是利用同类项的概念求解字母参数的值，求解代数式的值，掌握“利用同类项的概念列方程”是解本题的关键. 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）若和是同类项，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同类项，关键是掌握同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此即可得到答案． 【详解】解：和是同类项， ， 解得． 故选：B． 2．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如果代数式与是同类项，那么的值是（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可求得m，n的值，从而可求得 ． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若单项式与单项式是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类项，掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，这根据同类项的定义求出的值即可． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ， 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）如果单项式与是同类项，求的值． 【答案】4 【分析】根据同类项的概念分别求出m、n，计算即可． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以，， 所以， 即的值是4． 【点睛】本题考查同类项，解题的关键是掌握“同类项的定义：含有相同字母，相同字母的指数也相同”． 【典型例题三 合并同类项】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）两个5次多项式相加，结果一定是（　　） A．5次多项式 B．10次多项式 C．不超过5次的多项式 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减运算，整式加减的实质是合并同类项，并不会改变字母和字母的次数；根据合并同类项的法则，即可得出的次数，注意判断合并后是多项式还是单项式，从而确定答案． 【详解】解：根据合并同类项的法则可得：两个5次多项式相加，结果不超过5次的整式，可能是1次到5次多项式、单项式或常数项． 故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏常州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，把中的同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变即可得到答案． 【详解】解： ； 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项．根据合并同类项法则求解． 【详解】解： ，故A选项正确，符合题意；B，C，D错误，不符合题意． 故选：A 3．（2025·江苏宿迁·一模）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则：系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，进行计算即可． 本题主要考查了合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（2023七年级上·江苏·专题练习）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据合并同类项的方法求解即可； （2）根据合并同类项的方法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法是解题的关键． 【典型例题四 去括号】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号法则逐个判断即可． 【详解】A．，选项A正确； B． ，选项B错误； C．，选项C错误； D．，选项D错误． 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算． （1）根据合并同类项法则即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 熟练掌握去括号法则，合并同类项法则是本题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则，直接利用去括号法则进而分析得出答案，正确掌握去括号法则是解题关键． 【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列去括号的结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了去括号，根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习） ． 【答案】2 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号是解题的关键． 去括号求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）合并同类项． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减，掌握去括号运算并正确合并同类项是解题的关键． （1）直接合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号，再合并同类项得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 【典型例题五 添括号】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号法则和添括号法则，根据两个法则逐项判定即可． 【详解】解：选项A，错误，不符合题意； 选项B，错误，不符合题意； 选项C，错误，不符合题意； 选项D，正确，符合题意； 故选：D 2．（23-24七年级·全国·假期作业）把﹣2x2﹣3xy＋y2﹣3x＋y＋1中的二次项放在前面带有“﹣”号的括号里，一次项放在前面带有“＋”号的括号里． 【答案】﹣(2x2＋3xy﹣y2)＋(﹣3x＋y)＋1 【分析】先把一次项和二次项分别放在一起，然后根据添括号的法则计算即可． 【详解】解：﹣2x2﹣3xy＋y2﹣3x＋y＋1＝﹣(2x2＋3xy﹣y2)＋(﹣3x＋y)＋1． 【点睛】此题考查了添括号的法则．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 1．（2022七年级上·江苏·专题练习）下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用添括号法则分别判断得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了添括号，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．（22-23七年级上·江苏南京·期中）下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则和添括号法则即可求解 【详解】A. ，原式错误，故此选项不符合题意； B. ，原式错误，故此选项不符合题意； C. ，原式错误，故此选项不符合题意； D. ，原式正确，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了整式的加减，去括号法则和添括号法则，关键是掌握符号的变化情况 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查代数式求值，根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）（1）小丽在计算时，采用了如下做法： 解： ① ② 步骤①的依据是：______； 步骤②的依据是：______； （2）请试着用小丽的方法计算：． 【答案】（1）①添括号法则；②合并同类项；（2）． 【分析】本题主要考查了合并同类项，添括号，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则和添括号法则． （1）根据添括号法则和合并同类项法则进行解答即可； （2）根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：（1）步骤①的依据是：添括号法则； 步骤②的依据是：合并同类项法则； 故答案为：①添括号法则；②合并同类项； （2） ． 【典型例题六 整式的加减运算】 1．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）若，则称与是关于的友好数．代数式与是关于的友好数，则代数式为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、新定义，理解新定义，掌握整式的加减是解题的关键． 根据关于的友好数的定义，可知，然后化简即可． 【详解】解：与是关于的友好数， ， ， 故答案为：A． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）比较与的大小． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用作差法，分类讨论即可判断． 【详解】解：∵ ， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．根据去括号法则和合并同类项法则计算即可求解． 【详解】解：A．，即不合题意， B．，即项符合题意， C．和不是同类项不能合并，即不合题意， D．，即项不合题意， 故选：B． 2．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减运算法则，进行计算并判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，故不能合并，故此选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，故不能合并，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，正确地合并同类项是解答此题的关键． 3．（2025·江苏常州·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式加减．先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，正确计算是解题的关键： （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【典型例题七 整式的加减中的化简求值】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如果，那么代数式的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把化成，然后把代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：已知， 原式 ． 故选：B． 【点睛】考查等式的性质、代数式求值．整体代入是代数式求值常用的方法，将代数式进行适当的变形是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则及有理数的运算法则是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，得出化简结果后，再将，代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）若，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方的非负性，整式的加减中的化简求值，理解两个非负数的和等于零时，每一个非负数必为零的特点是解题的关键．根据，可得，即可求出的值，再将化简为，将的值代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 则 ； 故选：C． 2．（23-24七年级·江苏·假期作业）已知，，则式子的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意用第一个等式减去第二个等式的2倍，得到，然后代入求解即可． 【详解】第一个等式减去第二个等式的2倍，得， ∴ ． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算以及代入求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式加减运算法则进行化简，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减化简求值，先根据整式的加减运算法则化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【典型例题八 整式加减中的无关型问题】 1．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）代数式的值（    ） A．与字母，都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母，都无关 【答案】B 【分析】根据整式的加减法法则，合并同类项后即可求解． 【详解】解： ， ∴代数式的值只与有关， 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的加减法，理解整式的加减法法则，掌握合并同类项的方法是解题的关键． 2．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）试说明：无论取何值，代数式的值不变． 【答案】证明见解析 【分析】根据整式的加减运算计算即可得出答案． 【详解】解：原式 ， ∴无论取何值，原式的值不变． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，正确计算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）多项式与的大小关系（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与，都有关 D．与，无关 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 所以多项式与的大小关系只与有关； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若关于的多项式中不含有的一次项，则的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先把多项式合并，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：多项式不含的一次项， ， 解得． 故选：D 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）当 时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】直接利用多项式的定义结合不含项得出关于的等式即可求出答案． 【详解】解：多项式中不含项， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式，正确得出项系数为零的等式是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，． （1）求A－B； （2）若2A－mB中不含x项，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先表示出A－B，然后去括号合并同类项即可； （2）先表示出2A－mB，然后去括号合并同类项，由代数式不含x项，可得，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴代入A－B ， ， ， ∴A－B的值为； （2）2A－mB ， ， ， ∵代数式不含x项，则， 解得： ， ∴m的值为． 【点睛】此题考查了整式的加减化简求值及解一元一次方程，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【典型例题九 整式加减的应用】 1．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知两个多项式M和N都是四次多项式，那么的次数为（　　） A．四次 B．不高于四次 C．八次 D．不低于四次 【答案】B 【分析】整式加减实质上是合并同类项，只把同类项系数相加减，字母和字母的指数不变，于是在合并的过程中，M和N的最高次项可能抵消，也可能没有抵消，根据M、N都是四次多项式，可知它们相加的次数一定不超过4，从而可以解答本题． 【详解】解：∵M、N都是四次多项式， ∴多项式的次数不超过4， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）（1）把数x的平方乘以2后加8，然后除以4，再减去x的平方的，运算结果是一个确定的值吗？若是，请求出这个确定的值；若不是，请说明理由； （2）小明在做第（1）问时，将误抄写成2，然后发现运算结果不是确定的值，但他同时发现这个结果有最大值（或最小值）．请你帮小明用含x的代数式表示结果，并直接写出这个代数式的最大值（或最小值）． 【答案】（1）是，2；（2），最大值为2 【分析】本题考查的是整式的加减运算，代数式的值，非正数的性质，理解题意是关键； （1）根据题意先列式，再计算即可； （2）根据题意先列式，再计算结合非正数的性质即可得到答案； 【详解】解：（1）是，理由如下： ； （2） ， ∵， 原代数式的最大值为2． 1．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）甲、乙两匹马各驮有一袋重量相等的大米（袋子还有较大的空余），先把甲的大米倒给乙袋，再把乙的大米倒给甲袋，结果（　　） A．甲多 B．乙多 C．一样多 D．谁多谁少，要视原来每袋大米的重量而定 【答案】A 【分析】第一次倒大米后，甲袋的大米质量为：原来的质量，乙袋大米的质量为：原来的质量+甲袋倒出的质量；第二次倒大米后，乙袋大米的质量为：乙袋现在的质量甲袋大米的质量=原来2袋大米的总质量-乙袋大米现有质量，比较即可． 【详解】解：设甲、乙两袋均装有x千克大米， 则把甲袋的大米倒给乙袋后，甲袋还有千克，乙袋有，再把乙袋的大米倒给甲袋时，乙袋还有 千克，甲袋有， ∵， ∴甲袋多． 故选：A． 【点睛】本题考查代数式的比较大小问题，易错点是得到把大米倒2次后的代数式． 2．（22-23七年级上·江苏镇江·期中）已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学依次取糖果，按先后顺序依次递减相同的量来取，正好取完．若丙同学取了15颗糖果，则共有糖果（    ）颗 A．75 B．70 C．65 D．60 【答案】A 【分析】假设依次递减的数量是n，再列式合并即可． 【详解】解：设依次递减的数量是n，则甲，乙，丙，丁，戊五位同学取糖果的数量依次是棵，棵，棵，棵，棵， ∴糖果总数是：（棵）， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的加减法，掌握整式加减法法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）若一个多项式与的和等于2m，则这个多项式是 ． 【答案】 【分析】已知一个加式与和求另一个加式，用减法，所以可得这个多项式是再去括号，合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 一个多项式与的和等于2m， 这个多项式是 故答案为： 【点睛】本题考查的是去括号，合并同类项，掌握去括号与合并同类项是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）魔术师告诉小丽：“你在纸上写一个数字，不要让我看到，然后用你写的数字乘以再加上，将所得的结果除以，再减去你写在纸上的数，无论你选用哪个数字，我都能猜出你的答案”． （1）若小丽所选用的数字为和，请你按魔术师所说的过程完成运算并比较结果，写出你的发现； （2）若用表示小丽所选取的数，请尝试解释你的发现． 【答案】（1）见解析，运算结果相同；（2）无论取何值，运算的结果均为 【分析】(1)将−2 和 1 分别进行上述计算即可; (2)根据题意列出魔术师猜中的结果的算式为(3x+6)÷3−x，再进一步计算即可求解． 【详解】解：（1）所选数字为时，可得： 所选数字为时，可得： 可发现所选数字为和时运算结果相同.. （2）小丽所选的数用表示，得： 无论取何值，运算的结果均为 【点睛】本题主要考查列代数式和整式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式． 【典型例题十 单项式的判断】 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）下列代数式中中，单项式共有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：在中单项式有： b，，，，共4个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？ 【答案】都是单项式 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察可发现以上式子都为单项式， 故它们的共同点为都是单项式． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）有下列代数式：，其中单项式的个数是（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据“单项式就是数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式”即可判断，熟练掌握单项式的定义是解决此题的关键． 【详解】单项式有：、，共有2个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）代数式、、、、0中，单项式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据单项式的定义：“数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式”，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、、0中，单项式有、0，共2个； 故选B． 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列代数式：①，②m，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，单项式共有 个． 【答案】3 【分析】由单项式的概念，即可判断． 【详解】解：，，是单项式； ，，是多项式； ，中分母含有字母，不是单项式， 单项式共有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查单项式的概念，关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知a，b为有理数，关于x、y的代数式∶ 化简之后仍为单项式，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，单项式的定义等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，由题意可知，求值即可． 【详解】解：∵代数式化简之后为单项式， ∴， ∴ ． 【典型例题十一 单项式的系数、次数】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）单项式的系数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查单项式的定义，熟知单项式的定义是解本题的关键， 由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，根据单项式的定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故选∶A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1)是单项式，系数是，次数是4． (2)是单项式，系数是，次数是6． (3)是单项式，系数是，次数是4． (4)是单项式，系数是，次数是5． (5)是单项式，系数是，次数是1． (6)不是单项式． (7)不是单项式． 【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键． （1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母； （6）是多项式，不是单项式； （7）不是单项式． 【详解】（1）是单项式，系数是，次数是4． （2）是单项式，系数是，次数是6． （3）是单项式，系数是，次数是4． （4）是单项式，系数是，次数是5． （5）是单项式，系数是，次数是1． （6）不是单项式． （7）不是单项式． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所以字母指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数和次数的概念解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：D ． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列四个单项式的系数、次数，正确的是（  ） A．系数为1，次数为3 B．系数为，次数为3 C．系数为1，次数为2 D．系数为，次数为3 【答案】D 【分析】本题考查的是单项式的系数和次数的概念，解题的关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式的系数和次数的概念判断即可． 【详解】解：A. 系数为1，次数为5，故此选项不符合题意； B. 系数为，次数为2，故此选项不符合题意； C. 系数为，次数为2，故此选项不符合题意； D. 系数为，次数为3，故此选项符合题意； 故选D． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的知识，掌握单项式中数字因数叫做单项式的系数是解题关键．根据单项式系数的定义作答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南开封·期中）已知是关于x、y的四次单项式，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．单项式的次数是所有字母的指数的和；利用单项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：，   ， ， ， ， 当时，． 【典型例题十二 写出满足某些特征的单项式】 1．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 1．（22-23七年级上·广西来宾·期中）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）请写出一个系数为且只含有字母、的三次单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的定义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的三次单项式为：， 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】(1)①、、、、；②、 (2)分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． 【详解】（1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 【典型例题十三 单项式规律题】 1．（24-25七年级上·江苏·期中）一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第个单项式应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律变化，分别观察系数和的指数找出规律即可求解，由已知单项式找到规律是解题的关键． 【详解】解：观察系数依次为， 故可得第个单项式的系数为； 观察的指数依次是， 可得三个单项式一个循环， ∵， ∴第个单项式的指数为， 综上可得，第个单项式是 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． （1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可； （2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第9个单项式是，即； （2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为， ∴猜想第个单项式为． 1．（2024·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的变化类、单项式，根据题目中的单项式，可以发现系数是从1开始连续的正整数，指数是从2开始的连续的正整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解： ∴第n个单项式是， 故选：C． 2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ） A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1) 【答案】A 【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示． 【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给单项式，发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 观察所给单项式的系数及次数，发现规律：第个单项式的系数为；第个单项式的次数为，即可解决问题． 【详解】解：由题意知， 这列单项式的系数依次为：2，，6，，10，， 所以第个单项式的系数为：． 这列单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，， 所以第个单项式的次数为：， 所以第个单项式可表示为：． 当时， ， 即第20个单项式为． 故答案为：． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）有一串代数式：，，，，…，，，…，求： (1)观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律． (2)写出第2009个代数式． (3)写出第n个、第个代数式． 【答案】(1)这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正 (2) (3) 【分析】本题考查代数式． （1）根据各个单项式的系数及其正负号、次数，用语言叙述它们的规律即可； （2）根据这串代数式的规律解答即可； （3）根据这串代数式的规律解答即可． 【详解】（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数第奇数个为负，第偶数个为正． （2）根据这串代数式的规律，第2009个代数式是； （3）第n个代数式是，第个代数式是． 【典型例题十四 多项式的判断】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，根据定义解答即可． 【详解】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式，根据单项式，多项式，整式的定义解答即可. 【详解】单项式：； 多项式：； 二次三项式：； 整式：. 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）在下列代数式：，，，，，中，多项式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】几个单项式的和叫做多项式，据此判断即可． 【详解】解：多项式有：，，，，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）已知，0，，，，中多项式有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义判断即可．几个单项式的和或差叫做多项式． 【详解】由题可知：，是多项式，有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式的定义判断，准确分析判断是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在式子中，多项式的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：“几个单项式的和的形式”，进行判断即可． 【详解】解：在式子中，多项式有，共2个； 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）小宇和小辉一起制作了6张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给小宇加1分，做出一张多项式卡片给小辉加1分．如图是他们做的卡片． (1)小宇得了_____________分； (2)请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，数或字母的积叫做单向式，单独的一个数或一个字母也是单向式；几个单向式的和叫做多项式． 对于（1），根据单项式的定义判断即可； 对于（2），根据单项式和多项式的定义分类． 【详解】（1）解：是单项式，一共有3个，所以小宇得分3分． 故答案为：3； （2）解：如下图． 【典型例题十五 多项式的项、项数或次数】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）下列说法正确的是（  ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是3 C．是四次三项式 D．与是同类项 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的项及其次数的定义，同类项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．根据相关的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； B、单项式的次数是3，原说法正确，符合题意； C、是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D、与不是同类项，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）若关于x的多项式不含二次项和一次项，求m、n的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式不含问题，不含哪一项，则哪一项的系数为0．根据多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式不含二次项和一次项， ∴， ∴． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．2是单项式 B．的系数是3 C．的次数是1 D．多项式的次数是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式及其次数、系数的定义，多项式次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：A、2是单项式，原说法正确，符合题意； B、的系数是，原说法错误，不符合题意； C、的次数是3，原说法错误，不符合题意； D、多项式的次数是2，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上不能填写的是（    ） _________是一个三次三项式． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的项数和次数．根据多项式的项数和次数可得补充的内容是一个3次单项式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：因为这个多项式是三次三项式，所以补充的内容是一个三次单项式， 选项A、B、D均是三次单项式，但C选项是常数项，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）多项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中次数最高项得次数就是这个多项式的次数．根据多项式次数的定义：次数最高次项的次数进行填空即可． 【详解】解：多项式的次数是3． 故答案为：3． 4．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式和单项式的相关概念．单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．据此即可求解． 【详解】解：∵是五次四项式， ∴， ∴． ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴， ∴． 【典型例题十六 多项式系数、指数中字母求值】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如果整式是关于的二次三项式，那么等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由于该多项式是关于x的二次三项式，可得n-2=2，即可求得n的值． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴n-2=2， 解得n=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据多项式的次数求参数的值，理解二次三项式的含义是解决本题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）关于x、y的多项式my3+3nx2y+2y3 - x2y+xy+y不含三次项，求m+3n的值 【答案】m+3n＝－1 【分析】根据多项式my3+3nx2y+2y3 - x2y+xy+y不含三次项，得出m+2＝0，3n﹣1＝0，求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：my3+3nx2y+2y3 - x2y+xy+y=(m+2) y3+(3n-1) x2y+xy+y， 因为多项式不含三次项， 所以m+2＝0，3n﹣1＝0， 即m＝﹣2，n＝， m+3n＝﹣2+1＝－1． 【点睛】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．同时考查了多项式的定义，利用多项式不含三次项得出三次项系数和为0，进而求出答案是解题关键． 1．（23-24七年级上·江苏南通·期中）多项式x2-3kxy-3y2+6xy不含xy项，则k的值为（     ） A．0 B．－2 C．2 D．任意有理数 【答案】C 【分析】首先根据题意合并同类项为x2+(6-3k)xy-3y2，由题意可得出6-3k=0，解方程即可求出k的值． 【详解】解：x2-3kxy-3y2+6xy= x2+(6-3k)xy-3y2， ∵多项式不含xy项， ∴6-3k=0，解得：k=2． 故选：C． 【点睛】此题考查了合并同类项，以及对多项式中项的概念的理解，解题的关键是根据题意得出xy项的系数为0． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知多项式是关于x的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）若关于x的多项式不含项，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了多项式不含某项的问题，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项 ∴ ∴． 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）已知多项式是关于x，y的四次三项式． (1)求m的值． (2)当时，求此多项式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题意可得：，即可求解； （2）将代入代数式，根据有理数的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：多项式是关于x，y的四次三项式， 可得：，解得， 即m的值为． （2）将代入可得： 原式 ． 【点睛】此题考查了多项式的概念，代数式求值，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【典型例题十七 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）有下列说法：①为任意有理数，总是正数；②对于任何一个有理数，加上一个数后一定比原数大；③单项式的次数为1；④两个有理数a、b，如果，那么；⑤多项式是按字母a降幂排列的．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．2个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查判断正误，有理数分类，整式定义等．根据题意逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵为任意有理数， ∴，故总是正数说法不对，即①不正确， ∵对于任何一个有理数，加上一个数后不一定比原数大，若加上的数为负数则比原数小， 故②不正确， ∵单项式的次数为0，故③不正确， ∵两个有理数a、b，如果，那么，故④正确， ∵多项式中，第一项中涉及的是，第二项中涉及的是，第三项中涉及的是， ∴是按字母a降幂排列的，故⑤正确， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）请把多项式重新排列． (1)按x降幂排列： (2)按y降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察x的指数，按x的指数从大到小排列，即可； （2）观察y的指数，按y的指数从大到小排列，即可． 【详解】（1）按x降幂排列：； （2）按y降幂排列：． 【点睛】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升幂或降幂排列的意义，是解题的关键． 1．（24-25七年级上·重庆·期中）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 先判断每一项的次数，再把y按从低次到高次排列得出答案即可，排列时带着系数及符号． 【详解】解：多项式按y的升幂排列为：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·上海松江·期末）将按字母a升幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式．根据多项式的次数进行升幂排列即可． 【详解】解：将按字母升幂排列是， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·吉林延边·期中）已知多项式与单项式的次数相同． (1)求m的值； (2)把这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定单项式的次数，可知多项式的次数，进而求出m的值即可； （2）按x的降幂排列即可． 【详解】（1）解：单项式是五次单项式， 可知该多项式是五次四项式， 所以， 解得； （2）解：按x的降幂排列为． 【点睛】本题主要考查了单项式和多项式的次数，多项式的升（降）幂排列等，理解定义是解题的关键． 【典型例题十八 整式的判断】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）在，，，，，不属于整式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式． 【详解】解：∵，，是整式， ，不属于整式， ∴不属于整式的有2个， 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩， 故答案为：④⑤⑩； （2）多项式：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）整式：①③④⑤⑥⑩， 故答案为：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式：③⑥， 故答案为：③⑥； 【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列式子：，，0，，，整式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．据此求解即可． 【详解】解：是整式中的多项式， 是整式中的单项式， 0是整式中的单项式， 的分母含字母，不是整式， 是整式中的多项式， 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列式子中：，，，，，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的识别，整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：式子，，，，中，整式有，，，共3个， 故选：B． 3．（23-24七年级·江苏·假期作业）在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有 个；单项式有 个，次数为2的单项式是 ；系数为1的单项式是 ． 【答案】 8 5 ab a 【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断； 【详解】解：整式有a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，共8个； 单项式有a，π， ab，5，2a共5个，次数为2的单项式是ab； 系数为1的单项式是a． 故答案为：8；5；ab；a． 【点睛】本题考查了整式、单项式的有关概念，注意单个字母与数字也是单项式，单项式的系数是其数字因数，单项式的次数是所有字母指数的和． 4．（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 【详解】解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 【典型例题十九 数字类规律探索】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一组数为：，，，，．．．，找规律得到第7个数是（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字规律探索，认清规律是解题的关键．通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子都是1． 【详解】解：∵第7个数，7是奇数， ∴应该是负数，即． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查规律类型题目，解题的关键在于理解题意找出题中规律． （1）根据第一行的第n个数用表示，第二行的第n个数用表示，然后分别求出第7个数即可； （2）根据（1）中的规律求得每行数的第9个数，计算这两个数的和即可． 【详解】（1）解：∵第①行中，第1个数， 第2个数， 第3个数，…， 故第n个数． 第②行数等于第①行相应的数加2； ∴第①行第7个数为：， 第②行第7个数为：； （2）解：第①行第9个数为：， 第②行第9个数为：， ∴每行数的第9个数和为： ． 1．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）有一列数：1，，5，，……，观察它的规律可知，第个数是（    ） A．19 B． C．21 D． 【答案】B 【分析】通过观察发现这列数的绝对值为从1开始相邻的奇数，其符号为：奇数项为正，偶数项为负，由此即可解答． 【详解】由题意可知这列数的绝对值为从1开始相邻的奇数，其符号为：奇数项为正，偶数项为负， ∴第个数是． 故选B． 【点睛】本题考查数字类变化规律．读懂题意，正确的探索出规律是解题关键． 2．（2022七年级·江苏·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以4，然后根据余数判断与圆周上哪个数字重合． 【详解】解：2021﹣（﹣1）＝2021+1＝2022， 2022÷4＝505•••2， 所以数轴上表示2021的点与圆周上的数字2重合， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 3、．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）把有理数化为小数，小数点后第2024位数字为 ． 【答案】4 【分析】本题考查数字的变化规律，找到规律根据余数进行解答是解题关键．根据分数化为小数的方法，然后根据循环节进行解答即可． 【详解】解：∵，6个数为一组， ∴， ∴小数点后第2024位数字是4． 故答案为：4． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2019个数分别是什么吗？ (1)，，，，，，，， ， ， ，； (2)，，，，，，，， ， ， ，． 【答案】(1)9，，，第15个数为：15，第101个数为：，第2019个数为：2019； (2)，，，第15个数为：，第101个数为：，第2019个数为：； 【分析】（1）第一组数中，序号是3的倍数的数是正数，其余数是负数，符号后面的数是从1开始的连续自然数； （2）第二组数中，偶数项是以项数为分母，1为分子的数，奇数项是在项数前加． 此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】（1）解：后面的3个数依次为，，． 观察发现，若能被3整除，则第个数为，若不能被3整除，则第个数为为正整数）， 所以第15个数为15，第101个数为，第2019个数为2019． （2）后面的3个数依次为，，． 观察发现，若能被2整除，则第个数为，若不能被2整除，则第个数为为正整数）， 所以第15个数为，第101个数为，第2019个数为． 【典型例题二十 图形类规律探索】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，熟练掌握整式在探索规律问题中的应用方法是解题的关键：根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律；其中，以图形为载体的数字规律最为常见； 猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法进行猜想并想到最终结论；这类问题是近年来中考试题的热点，应予以关注． 由图形可得到第个图形中火柴棒的根数为：，据此即可求解． 【详解】解：第个图形中火柴棒的根数为：， 第个图形中火柴棒的根数为：， 第个图形中火柴棒的根数为：， 第个图形中火柴棒的根数为：， ， 第个图中火柴棒的根数为：， 第个图中火柴棒的根数为：， 图比图多出的火柴棒根数是：， 故选：． 2．（2025七年级上·江苏无锡·专题练习）用小棒摆正方形，列表如下： 正方形个数 摆成的图形 小棒的根数 1 4 2 、7 3 10 4 13 …… …… …… (1)每多摆1个正方形，就增加　　　根小棒． (2)摆20个正方形需要多少根小棒？ 【答案】(1)3 (2)61根 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出一般规律是解题关键； （1）仔细观察表中的数据，需要小棒的根数随着个数而增加，且每次都是增加3根，所以，每增加一个正方形，就增加3根小棒，据此可解． （2）根据表格找出规律，然后代入求值即可． 【详解】（1）由列表可知，摆1个小正方形需要4根小棒；摆2个小正方形需要根小棒；摆3个小正方形需要根小棒；摆4个小正方形需要根小棒…… 所以，每多摆1个正方形，就增加3根小棒． 故答案为：3． （2）根据表格，可以得出： 1个正方形需要4根小棒； 2个正方形需要7根小棒，； 3个正方形需要10根小棒，； …… 由此，可得规律：每增加一个正方形，就会增加3根小棒，则摆n个正方形需要根小棒，n为正整数． 当时 （根） 答：摆20个正方形需要61根小棒． 1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）观察下列一组图案，每个图案都是若干个“·”组成，其中图①中共有7个“·”，图②中共有13个“·”，图③中共有21个“·”，图④中共有31个“·”…，按此规律，图形⑩中的“·”个数是（    ） A．113 B．117 C．125 D．133 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形个数的变化特点．找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：图①中共有个“•”， 图②中共有个“•”， 图③中共有个“•”， 图④中共有个“•” …， 图形⑩中的“•”个数是， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知正方形A1A2A3A4的边长为1，若从某一点开始沿逆时针方向走点的下标数字的路程，则把这种走法成为一次“逆移”，如：在点A3开始经过A3→A4→A1→A2为第一次“逆移”，在点A2开始经过A2→A3→A4为第二次“逆移”．若从点A1开始，经过2022次“逆移”，最终到达的位置是（　　） A．A1 B．A2 C．A3 D．A4 【答案】D 【分析】根据逆移的定义，找出前几次的逆移到达的位置，找出规律，然后根据规律即可求解． 【详解】A1的第一次逆移到A2， 第二次逆移到达A4， 第三次逆移到达A4， …， ∴经过2022次“逆移”到达A4， 故选：D． 【点睛】本题考查了对图形变化规律的考查，根据逆移的定义，找出其中变化循环的规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏·期末）小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②），最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④） 小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现并总结出一般规律是解题的关键． 由图形总结出画条直线，条直线，条直线，，条直线时最多的区域数和交点数，据此即可得出结论． 【详解】解：由图可知： 当画条直线时：直线数为1，最多区域数为，交点数为， 当画条直线时：直线数为2，最多区域数为，交点数为， 当画条直线时：直线数为3，最多区域数为，交点数为， ， 当画条直线时：直线数为a，最多区域数为，交点数为， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·开学考试）小华用边长为1厘米的正方形纸片分别摆出如下图所示的图形，并依次写出了每个图形的周长．请你按照规律，填写表格． 图形 图1 图2 图3 … 图n 周长/厘米 … 【答案】见解析 【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；根据题意，首先列出图图3对应的图形周长，再结合数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，得： 第1个图形正方形的个数：1，其周长：厘米，、 第2个图形正方形的个数：4，其周长：厘米， 第3个图形正方形的个数：9，其周长：厘米， ∴第n个图形正方形的个数：周长：厘米， 图形 图1 图2 图3 … 图n 周长/厘米 4 10 16 … 表格如上所示． 【典型例题二十一 带有字母的绝对值化简问题】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，理解绝对值的意义是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】由题意可知，，所以． 故选：D． 2．（22-23七年级上·江西宜春·期末）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示． （1）当，时，求的值； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）先代入数值，再根据绝对值的代数意义化简求解即可； （2）根据绝对值的代数意义、去括号、合并即可得到结果． 【详解】解：（1）当，时 原式 （2）根据如图所示数轴上点的位置可知：， ∴，，，， 原式 【点睛】此题考查了整式的加减、数轴、以及绝对值，解题的关键是熟练掌握各自的定义． 1．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）下列各对数：与；与；与；与；与；与，其中，互为相反数的有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】A 【分析】分别化简每对数，再利用相反数的含义逐一判断即可． 【详解】解：则与互为相反数， 则与相等， 则与互为相反数， ；则与相等； ，；则与相等； ，，则与互为相反数， 故选A 【点睛】本题考查的是相反数的含义，绝对值的含义，化简多重符号，掌握“相反数的定义”是解本题的关键． 2．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（　　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据多重符号化简，去绝对值，乘方运算和相反数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数不相等，不符合题意； B、，，两数不相等，不符合题意； C、，，两数相等，符合题意； D、与互为相反数，两数不相等，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查多重符号化简，去绝对值，乘方运算和相反数的定义．熟练掌握相关运算和知识点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若有理数a是负数，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，正确去掉绝对值是解题的关键． 先根据题意得到，由此化简绝对值即可． 【详解】解：∵a是负数， ∴． ∴原式． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：． 【答案】b 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由数轴图可知，， ∴， ∴ ． 、 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数是2，次数是3 C．3是单项式 D．多项式是五次二项式 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式、整式和单项式，熟练掌握多项式、整式和单项式的概念是解题的关键．根据整式、多项式和单项式的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、m是整式，故不合题意； B、的系数是，次数是3，故不合题意； C、3是单项式，正确，故符合题意； D、多项式是三次二项式，故不合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减运算，根据整式的加减运算，合并同类项，进行解答，即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、和不是同类项，不能进行合并，错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能进行合并，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）单项式的系数、次数分别是（   ） A．，4 B．3，4 C．，5 D．3，5 【答案】C 【分析】本题考查单项式、多项式及相关概念，解题的关键是掌握单项式系数、次数相关概念．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数．根据单项式的系数和次数的定义即可进行解答．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数为，次数为5， 故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）单项式的系数和次数分别是（     ） A．，4 B．，3 C．9，3 D．9，4 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式系数及次数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）单项式的次数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【详解】解：单项式的次数是． 故选B． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）单项式的系数为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的系数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．根据单项式系数的定义可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数是：2， 故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列各单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同．根据同类项的概念求解即可． 【详解】解：、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数不相同，故此选项不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数不相同，故此选项不符合题意． 故选：． 8．（2024·江苏无锡·二模）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 9．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项、去括号法则，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键． 根据合并同类项的法则逐一分析判断即可． 【详解】解：A. ，故A不符合题意； B. 与不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D符合题意； 故选：． 10．（23-24七年级上·江苏·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解；A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 11．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）单项式的次数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的所有字母指数之和即为单项式的次数进行作答即可． 【详解】解：单项式的次数为3． 故答案为：3 12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）若关于x，y的单项式与和是一个单项式，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项的定义：字母相同且相同字母的指数也相同的两个单项式为同类项，据此解答即可． 【详解】解：∵单顼式与和是一个单项式， ∴与是同类项， ∴． 故答案为：3． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）单项式的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式的系数，根据单项式中的数字因式是单项式的系数可得答案． 【详解】解：单项式的系数为， 故答案为： 14．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）春秋时代，人们用算筹摆放图形，来表示1、2、3、4、5、6、7，你认为他们会用 图来表示“9”． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形并发现规律是解答本题的关键． 仔细观察算筹的摆放特点发现，横条表示5，竖条表示1，从而解答． 【详解】 解：由题意分析可得用图来表示“9”． 故答案为： ； 15．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）写出一个关于字母x、y的4次单项式，且系数为3，你写出的单项式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式的概念，根据单项式的概念和单项式次数的概念求解即可．解题的关键是熟练掌握单项式的概念． 【详解】解：∵这个单项式是关于字母x、y的4次单项式，且系数为3， ∴这个单项式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算． （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； 掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 18．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）合并同类项即可求解； （2）利用整式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 19．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）小明在学习scratch电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为A、B两区，每按一次按键，A区就会自动加上，同时B区就会自动乘以2，且均显示化简后的结果，已知A、B两区初始显示的分别是16和． (1)从初始状态按2次后，分别求A，B区显示的结果： (2)从初始状态按2次后，计算代数式A减去代数式B的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 【答案】(1)A区显示为：16+2a2+4a．B区显示为：16+4a． (2)这个差不是负数，理由见解析． 【分析】（1）根据题意给出的运算过程即可求出答案． （2）根据（1）中得出的结果进行相减，化简即可判断． 【详解】（1）解：按两次后，A区显示为：16+2（a2+2a）＝16+2a2+4a， B区显示为：4（4+a）＝16+4a． （2）解：这个差不能为负数，理由如下： 由题意可知：（16+2a2+4a）﹣（16+4a） ＝16+2a2+4a﹣16﹣4a ＝2a2≥0， 故这个差不是负数． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$