精品解析：山西省2024-2025学年高二下学期期末数学试题

2024—2025学年山西省高二下学期期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册，必修第一册第一章至第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.35 B. 0.45 C. 0.15 D. 0.25 3. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若（，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 49 8. 已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）． A. 决定系数变大 B. 残差平方和变大 C. 相关系数r的值变大 D. 去掉A点后，若所有散点都一条直线上，则决定系数 10. 若，则（ ） A. B C. D. 11. 已知函数若（），则（ ） A. B. 的值可能为25 C. D. 的值可能为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.3 由表可得______. 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为______． 14. 如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取3粒胶囊，则这3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻（左右相邻或上下相邻）的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设命题，，判断的真假，并写出的否定； （2）设，，，比较，，的大小. 16. 某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. （1）若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同报名方法？ （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ （3）若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 17. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 （1）根据小概率值独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ （2）从表中喜欢篮球运动的55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. （1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. （2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 19. 将随机排成一列，得到一个数列，若至多有项，即第项均满足，则称为阶相邻递增数列，为相邻递增数列的阶数，若中不存在1项满足，则称为0阶相邻递增数列，其阶数为0.例如，数列4，3，2，1为0阶相邻递增数列，数列4，3，1，2为1阶相邻递增数列，数列1，2，3，4为3阶相邻递增数列. （1）将1，2，3随机排成一列，得到数列，记为的相邻递增数列的阶数，求的分布列及期望； （2）将随机排成一列，在得到的数列中，1阶相邻递增数列的个数为，证明为等比数列，并求数列的通项公式； （3）将随机排成一列，得到一个数列，从得到的所有数列中随机选取一个，记选取的数列恰为1阶或2阶相邻递增数列的概率为，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年山西省高二下学期期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册，必修第一册第一章至第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，又， 所以. 故选：C 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.35 B. 0.45 C. 0.15 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 3. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的期望求出，再利用二项分布的概率公式求出概率. 【详解】由，，得，解得， 所以. 故选：B 4. 已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出样本中心点，再利用回归方程即可求解. 【详解】依题意，，， 则，得，所以. 故选：D 6. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 7. 若（，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 8. 已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法，令，化简处理可判断AC选项，再令，可判断BD选项. 【详解】令，则， 所以，故A，C错误； 令，则， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学收集了某商品销售收入y（单位：万元）与相应的广告支出x（单位：万元）共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）． A. 决定系数变大 B. 残差平方和变大 C. 相关系数r的值变大 D. 去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据散点图的特征可得点较其他点偏离直线更远，从而可得去掉点后，回归效果更好，故可判断ABC的正误，根据残差和为零可判断D的正误. 【详解】由散点图可知，点较其他点偏离直线更远， 去掉点后，回归效果更好，残差平方和变小，决定系数变大； 自变量与因变量的相关性变强，又与正相关，所以相关系数的值变大； 当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为，决定系数， 故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 10. 若，则（ ） A. B C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法计算判断各个选项即可. 【详解】令，得，A正确； 令，得，B正确； 令，得，C错误； 将与相加， 得，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数若（），则（ ） A. B. 的值可能为25 C. D. 的值可能为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据解析式及对数函数性质画出函数大致图象并确定函数的相关性质，进而得且，，进而判断各项的正误. 【详解】由解析式，，上单调递减，在，上单调递增， ，，可得函数大致图象如下， 由，且，则， 所以，易知，且， 所以，， 综上，. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.3 由表可得______. 【答案】2.5 【解析】 【分析】利用分布列的性质及期望、方差的定义列式求解. 【详解】依题意，，得， 则， 所以. 故答案为：2.5 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知 结合函数单调性定义得出单调性，再结合奇偶性及对称性列不等式计算求解. 【详解】当，且时，都有成立，则在R上单调递增． 又是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称． 由不等式，可得，解得， 故不等式的解集为． 故答案为：． 14. 如图，这是一板胶囊，若从这板胶囊中随机选取3粒胶囊，则这3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻（左右相邻或上下相邻）的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分类计数求3粒胶囊中有1粒与另外2粒都相邻的取法数，再由组合数求所有取法数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】当3粒在同一行，每行有4种取法，结合对称性有8种， 当2粒在同一行，每行有5种取法，再从另一行取另1粒，有种取法，结合对称性有种， 综上，共有28种取法， 而12粒任取3粒，共有种，故所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设命题，，判断的真假，并写出的否定； （2）设，，，比较，，的大小. 【答案】（1）是真命题，的否定为，；（2） 【解析】 【分析】（1）举例判断的真假，再写出其否定. （2）利用对数函数单调性比较大小. 【详解】（1）是真命题. 由，得，因此是真命题. 的否定为，. （2）由为增函数， 得， 由为减函数，得， 所以. 16. 某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. （1）若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ （3）若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】（1）90 （2）30 （3）540 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【小问1详解】 若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. 【小问2详解】 若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. 【小问3详解】 由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 17. 篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，是奥运会核心比赛项目．某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ （2）从表中喜欢篮球运动的55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为，求的分布列及数学期望． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）计算出，与对照比较即可得出结论； （2）由题知抽取男人8人，女人3人，可取0,1,2,3，再根据组合计算出相关概率，写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 由题可知， 所以能认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联. 【小问2详解】 根据题意可知抽取得男大学生有人，女大学生3人， 则再从这11人中选取3人中，女生人数可取0,1,2,3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 18. 小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. （1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. （2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）第一题选题库中的题目，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；（ii）根据已知分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再应用条件概率公式求概率； （2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 （i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 所以小明恰好获得100元奖金的概率为； （ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且， 所以， ， 综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率； 【小问2详解】 由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件， 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目. 19. 将随机排成一列，得到一个数列，若至多有项，即第项均满足，则称为阶相邻递增数列，为相邻递增数列的阶数，若中不存在1项满足，则称为0阶相邻递增数列，其阶数为0.例如，数列4，3，2，1为0阶相邻递增数列，数列4，3，1，2为1阶相邻递增数列，数列1，2，3，4为3阶相邻递增数列. （1）将1，2，3随机排成一列，得到数列，记为的相邻递增数列的阶数，求的分布列及期望； （2）将随机排成一列，在得到的数列中，1阶相邻递增数列的个数为，证明为等比数列，并求数列的通项公式； （3）将随机排成一列，得到一个数列，从得到的所有数列中随机选取一个，记选取的数列恰为1阶或2阶相邻递增数列的概率为，证明：当时，. 【答案】（1）分布列见解析，期望为1； （2）证明见解析，. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）写出所有情形，计算得到其分布列即可； （2）分为两种方法进行构造得到，从而得到其通项； （3）同样分为两种方法进行构造得到，结合，再合理放缩即可证明. 【小问1详解】 将1，2，3排成一列，其所有情形为123；132；213；231；312；321． 则，，. 由此可得的分布列为 0 1 2 故. 【小问2详解】 在由正整数构成的数列中，恰为1阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造： ①在递减数列中，任选一项的右边放，使此数列为1阶相邻递增数列，共有种排法； ②在由正整数构成1阶相邻递增数列中，若只有第项满足， 则将放在，的右侧或者放在的左侧即可，此时共有种排法． 故，． 易知，则， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即． 【小问3详解】 设在所有由正整数构成的数列中，2阶相邻递增数列的个数为， 在由正整数构成的2阶相邻递增数列可以由以下两种方法进行构造： ①在由正整数构成的1阶相邻递增数列中，若只有第项满足， 则将放在除外任一项的右侧均可使其变为2阶相邻递增数列，共有种排法； ②在由正整数构成的2阶相邻递增数列中，若仅有第，项满足， 则可以将放在或的右侧，或者放在的左侧，此 时所得数列仍然是2阶相邻递增数列，共有种排法． 故。 由题意知， 所以当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$